Problema 2. Máximos e Mínimos
Seja
uma função de classe
e seja
tal que
é compacto e não vazio.
i) Mostre que, se
, então um dos conjuntos
ou
é compacto.
ii) Mostre que
assume um máximo ou um mínimo em
.
iii) Podemos concluir a mesma coisa se
?
iv) Ache
de classe
, com
, definido num aberto
com a seguinte propriedade: Existe
tal que
é compacto e não vazio, mas
não tem máximo nem mínimo em
.
i) Mostre que, se
ii) Mostre que
iii) Podemos concluir a mesma coisa se
iv) Ache
Passo 1
O enunciado trata de uma função de classe
,
,
e de um nível tal que o conjunto
é compacto e não vazio.
Precisamos usar o fato de que, para , um hiper\mbox{-}superfície compacta em
separa o espaço em duas regiões (Teorema de Jordan\mbox{–}Brouwer), além de propriedades de continuidade em conjuntos compactos.
e de um nível
é compacto e não vazio.
Precisamos usar o fato de que, para
Passo 2
(i) Provar que um de
é compacto.
Como é compacto e, supondo
valor regular (ou mesmo no caso geral de superfície), o Teorema de Jordan–Brouwer garante que
tem exatamente duas componentes conexas: uma limitada e outra ilimitada.
Essas componentes são
e
,
cujas fechos são
e
.
Logo, o fecho da componente limitada é compacto, e esse fecho é ou ou
.
Como
Essas componentes são
cujas fechos são
Logo, o fecho da componente limitada é compacto, e esse fecho é ou
Passo 3
(ii) Provar que
assume máximo ou mínimo em
.
Suponha sem perda de generalidade que é compacto. Como
é contínua, sobre o compacto
ela atinge seu valor máximo em algum
, e como em
vale
, esse
é um ponto de máximo global de
.
Analogamente, se fosse compacto,
atingiria mínimo global em
.
Suponha sem perda de generalidade que
Analogamente, se fosse
Passo 4
(iii) E para
?
Quando , o conjunto
é um conjunto (finito) de pontos. Retirar um ponto de
deixa duas metades abertas e não limitadas.
Exemplo concreto: em
e
.
Então é compacto,
mas
e
são ambos não compactos, e não tem máximo nem mínimo.
Quando
Exemplo concreto:
Então
mas
e
são ambos não compactos, e
Passo 5
(iv) Dar exemplo em
num aberto
tal que
é compacto e não vazio, mas
não alcança extremos.
Considere
e
Considere
e
Então, escolhendo
,
é compacto e não vazio.
Porém e
,
logo não assume nem mínimo nem máximo em
.
é compacto e não vazio.
Porém
logo
Resposta
(i) Em
com
, pelo Teorema de Jordan–Brouwer a superfície
separa o espaço, e o fecho da região limitada (ou
ou
) é compacto.
(ii) Como é contínua, ela atinge extremo no compacto encontrado em (i), logo tem máximo ou mínimo global.
(iii) Não: em exemplos como
mostram que nem
nem
é compacto e
não atinge extremos.
(iv) Um exemplo é ,
, com
:
é compacto, mas
não tem máximo nem mínimo em
.
(ii) Como
(iii) Não: em
(iv) Um exemplo é