Problema 2. Máximos e Mínimos

Seja f: R^n R uma função de classe C^1 e seja c in R tal que f^-1(c) é compacto e não vazio.
i) Mostre que, se n >= 2, então um dos conjuntos F:=x in R^n, f(x) >= c ou G:=x in R^n, f(x) <= c é compacto.
ii) Mostre que f assume um máximo ou um mínimo em R^n.
iii) Podemos concluir a mesma coisa se n=1 ?
iv) Ache f: Omega subset R^n R de classe C^1, com n >= 2, definido num aberto Omega com a seguinte propriedade: Existe c in R tal que f^-1(c) é compacto e não vazio, mas f não tem máximo nem mínimo em Omega.

Passo 1

O enunciado trata de uma função de classe C^1,
;f:R^ntoR,
e de um nível cinR tal que o conjunto
;f^-1(c)=xinR^n:f(x)=c
é compacto e não vazio.
Precisamos usar o fato de que, para n>=2, um hiper\mbox{-}superfície compacta em R^n separa o espaço em duas regiões (Teorema de Jordan\mbox{–}Brouwer), além de propriedades de continuidade em conjuntos compactos.

Passo 2

(i) Provar que um de
F=xin R^n:f(x)>= c ou G=xin R^n:f(x)<= c
é compacto.
Como f^-1(c) é compacto e, supondo c valor regular (ou mesmo no caso geral de superfície), o Teorema de Jordan–Brouwer garante que
R^nsetminus f^-1(c) tem exatamente duas componentes conexas: uma limitada e outra ilimitada.
Essas componentes são
f>c e f<c,
cujas fechos são
f>= c=F e f<= c=G.
Logo, o fecho da componente limitada é compacto, e esse fecho é ou F ou G.

Passo 3

(ii) Provar que f assume máximo ou mínimo em R^n.
Suponha sem perda de generalidade que F é compacto. Como f é contínua, sobre o compacto F ela atinge seu valor máximo em algum x^*, e como em F vale f(x)>= c, esse x^* é um ponto de máximo global de f.
Analogamente, se fosse G compacto, f atingiria mínimo global em G.

Passo 4

(iii) E para n=1?
Quando n=1, o conjunto f^-1(c) é um conjunto (finito) de pontos. Retirar um ponto de R deixa duas metades abertas e não limitadas.
Exemplo concreto: f(x)=x em R e c=0.
Então f^-1(0)=0 é compacto,
mas
x:f(x)>=0=[0,infty)
e
x:f(x)<=0=(-infty,0]
são ambos não compactos, e f não tem máximo nem mínimo.

Passo 5

(iv) Dar exemplo em n>=2 num aberto Omega tal que f^-1(c) é compacto e não vazio, mas f não alcança extremos.
Considere
Omega= R^nsetminus0
e
f(x)=|x|
Então, escolhendo c=1,
;f^-1(1)=x:|x|=1=S^n-1
é compacto e não vazio.
Porém lim|x|to0f(x)=0 e lim|x|toinftyf(x)=+infty,
logo f não assume nem mínimo nem máximo em Omega.

Resposta

(i) Em R^n com n>=2, pelo Teorema de Jordan–Brouwer a superfície f^-1(c) separa o espaço, e o fecho da região limitada (ou F ou G) é compacto.
(ii) Como f é contínua, ela atinge extremo no compacto encontrado em (i), logo tem máximo ou mínimo global.
(iii) Não: em n=1 exemplos como f(x)=x mostram que nem F nem G é compacto e f não atinge extremos.
(iv) Um exemplo é Omega= R^nsetminus0, f(x)=|x|, com c=1:
f^-1(1)=S^n-1 é compacto, mas f não tem máximo nem mínimo em Omega.

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