Seja
um espaço métrico compacto. Seja
o conjunto de todas as funções
contínuas.
i) Mostre que a função
definida abaixo é uma norma para
:
Seja
uma sequência de Cauchy de
com a métrica
.
ii) Mostre que existe uma função
tal que
, para todo
.
iii) Mostre que a função
definida acima é uma função contínua, ou seja,
.
iv) Mostre que
na métrica definida pela norma do item i). Conclua que (
,
) é um espaço métrico completo.
i) Mostre que a função
ii) Mostre que existe uma função
iii) Mostre que a função
iv) Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em
com
temos uma norma (item i) e que, com a métrica
, toda sequência de Cauchy converge em
(itens ii–iv). Vamos usar fatos clássicos: a norma sup satisfaz os axiomas de norma, sequência de Cauchy em sup-norm é uniformemente Cauchy, daí há convergência uniforme a uma função
, limite uniforme de contínuas é contínuo, e convergência uniforme equivale a convergência na métrica
.
Passo 2
Provar que
é norma em
:
- (Positividade) Para todo
, pois é sup de valores absolutos. - (Definitude) Se
, então , logo para todo , isto é . - (Homogeneidade) Para
,
- (Desigualdade triangular) Para
e todo ,
ou seja
.
Isso mostra o item i).
Passo 3
Se
é sequência de Cauchy em
, então dado
existe
tal que para
Em particular, para cada
a sequência real
é Cauchy em
, que é completo. Logo existe
isto define uma função
. Isso resolve o item ii).
Passo 4
Vamos mostrar convergência uniforme de
para
. Dada
, escolha
tal que para todos
Fixando
e deixando
, observa-se que
. Portanto
ou seja
uniformemente sobre
.
Passo 5
Como cada
é contínua e a convergência é uniforme, o limite
também é contínuo (fato padrão de análise). Assim
, resolvendo o item iii).
Passo 6
Do Passo 4 já vimos que
o que é exatamente
. Isso resolve o item iv). Como toda sequência de Cauchy em
converge a um ponto de
, o espaço é completo.
Resposta
Demonstramos que
é norma, que toda sequência de Cauchy em sup-norm converge uniformemente a uma função contínua
e que
. Logo
é completo.