Seja M um espaço métrico compacto. Seja C(M, R) o conjunto de todas as funções f: M R contínuas.
i) Mostre que a função |cdot|: C(M, R) [0, infty[ definida abaixo é uma norma para C(M, R) :
|f|:=sup x in M|f(x)|
Seja (fn)n in N uma sequência de Cauchy de C(M, R) com a métrica d(f, g):=|f-g|.
ii) Mostre que existe uma função f: M R tal que lim n infty fn(x)=f(x), para todo x in M.
iii) Mostre que a função f definida acima é uma função contínua, ou seja, f in C(M, R).
iv) Mostre que lim n infty fn=f na métrica definida pela norma do item i). Conclua que ( C(M, R), d ) é um espaço métrico completo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em C(M,R) com
|f|=supxin M|f(x)|,
temos uma norma (item i) e que, com a métrica d(f,g)=|f-g|, toda sequência de Cauchy converge em C(M,R) (itens ii–iv). Vamos usar fatos clássicos: a norma sup satisfaz os axiomas de norma, sequência de Cauchy em sup-norm é uniformemente Cauchy, daí há convergência uniforme a uma função f, limite uniforme de contínuas é contínuo, e convergência uniforme equivale a convergência na métrica d.

Passo 2

Provar que |cdot| é norma em C(M,R):
  1. (Positividade) Para todo f, |f|>=0 pois é sup de valores absolutos.
  2. (Definitude) Se |f|=0, então supx|f(x)|=0, logo |f(x)|=0 para todo x, isto é fequiv0.
  3. (Homogeneidade) Para lambdainR,
|lambda f| =supx|lambda,f(x)| =|lambda|;supx|f(x)| =|lambda|,|f|
  1. (Desigualdade triangular) Para f,gin C(M,R) e todo x,
|f(x)+g(x)|<=|f(x)|+|g(x)| implies supx|f(x)+g(x)|<=supx|f(x)|+supx|g(x)|
ou seja |f+g|<=|f|+|g|.
Isso mostra o item i).

Passo 3

Se (fn) é sequência de Cauchy em (C(M,R),|cdot|), então dado varepsilon>0 existe N tal que para m,n>= N
|fn - fm|=supxin M|fn(x)-fm(x)|<varepsilon
Em particular, para cada xin M a sequência real (fn(x)) é Cauchy em R, que é completo. Logo existe
f(x):=limntoinftyfn(x),
isto define uma função fcolon MtoR. Isso resolve o item ii).

Passo 4

Vamos mostrar convergência uniforme de fn para f. Dada varepsilon>0, escolha N tal que para todos m,n>= N
|fn - fm|<varepsilon
Fixando n>= N e deixando mtoinfty, observa-se que supx|fn(x)-f(x)|<=varepsilon. Portanto
supxin M|fn(x)-f(x)|to0 quando ntoinfty,
ou seja fnto f uniformemente sobre M.

Passo 5

Como cada fn é contínua e a convergência é uniforme, o limite f também é contínuo (fato padrão de análise). Assim fin C(M,R), resolvendo o item iii).

Passo 6

Do Passo 4 já vimos que
limntoinfty|fn - f| =limntoinftysupxin M|fn(x)-f(x)|=0,
o que é exatamente limntoinftyd(fn,f)=0. Isso resolve o item iv). Como toda sequência de Cauchy em (C(M,R),d) converge a um ponto de C(M,R), o espaço é completo.

Resposta

Demonstramos que |cdot| é norma, que toda sequência de Cauchy em sup-norm converge uniformemente a uma função contínua f e que |fn-f|to0. Logo (C(M,R),d) é completo.

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