Exercício 1.12.3. Utilizando os limites fundamentais, calcule os limites:
lim x 0 x raiz[x]x+1sen(2 x)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
limxto 0xraiz[x]1+xsin(2x)
usando limites fundamentais:
limuto0(1+u)^1/u=e e limtto0sin tt=1.

Passo 2

Note que, quando xto0, temos
raiz[x]1+x=(1+x)^1/xto e,
então o numerador x,(1+x)^1/xto0cdot e=0 e o denominador sin(2x)to0.
Isso é uma forma indeterminada 0/0.

Passo 3

Separe o produto no numerador da seguinte forma:
x,(1+x)^1/xsin(2x) =xsin(2x);cdot;(1+x)^1/x
Assim o limite se torna produto de dois limites.

Passo 4

Calcule cada limite separadamente:
limxto0(1+x)^1/x=e
limxto0xsin(2x) =12;limxto02xsin(2x) =12cdot1 =12,
pois limtto0sin tt=1.

Passo 5

Como o limite de produto é o produto dos limites, obtemos
limxto0xraiz[x]1+xsin(2x) =l(tfrac12r);(e) =e2

Resposta

e2

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