Utilize o teorema das funções implícitas para provar as seguintes afirmações:
Sejam f, g: R^n R tais que f é contínua e g(x)=f(x)+(f(x))^5. Se g in C^r(R^n), então f in C^r(R^n).

Passo 1

O enunciado diz que temos duas funções f,g:R^ntoR relacionadas por
g(x)=f(x)+(f(x))^5,
onde sabemos que gin C^r(R^n) e queremos mostrar que então fin C^r(R^n). A ideia é aplicar o Teorema das Funções Implícitas à equação
F(x,y)=g(x)-y-y^5=0
de modo a resolver localmente y=f(x) como uma função de classe C^r.

Passo 2

Definimos a função
F:R^ntimesR;longrightarrow;R, F(x,y)=g(x)-y-y^5
Como gin C^r e as operações algébricas e a potência quinta em y são todas de classe C^infty, concluímos que Fin C^r(R^ntimesR). Além disso, pela relação dada,
Fl(x,f(x)r) = g(x)-f(x)-l(f(x)r)^5 = 0 para todo xinR^n

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de F em relação a y:
partial Fpartial y(x,y) =-1-5,y^4
Para qualquer ponto l(x,f(x)r) temos
partial Fpartial yl(x,f(x)r) =-l(1+5,[f(x)]^4r) neq 0,
porque 1+5,[f(x)]^4>0 sempre. Essa condição de não anular a derivada parcial em y é exatamente a hipótese necessária para invocar o Teorema das Funções Implícitas.

Passo 4

Pelo Teorema das Funções Implícitas, em torno de cada ponto x0inR^n existe uma vizinhança em que a equação F(x,y)=0 determina de forma única e de classe C^r uma função y=varphi(x) que satisfaz F(x,varphi(x))=0. Como globalmente sabemos que f é a única solução dessa equação, segue que f(x)=varphi(x) em toda R^n e, portanto, fin C^r(R^n).

Resposta

Concluímos que fin C^r(R^n).

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