Utilize o teorema das funções implícitas para provar as seguintes afirmações:
Sejam
tais que
é contínua e
. Se
, então
.
Sejam
Passo 1
O enunciado diz que temos duas funções
relacionadas por
onde sabemos que
e queremos mostrar que então
. A ideia é aplicar o Teorema das Funções Implícitas à equação
de modo a resolver localmente
como uma função de classe
.
Passo 2
Definimos a função
Como
e as operações algébricas e a potência quinta em
são todas de classe
, concluímos que
. Além disso, pela relação dada,
Passo 3
Calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Para qualquer ponto
temos
porque
sempre. Essa condição de não anular a derivada parcial em
é exatamente a hipótese necessária para invocar o Teorema das Funções Implícitas.
Passo 4
Pelo Teorema das Funções Implícitas, em torno de cada ponto
existe uma vizinhança em que a equação
determina de forma única e de classe
uma função
que satisfaz
. Como globalmente sabemos que
é a única solução dessa equação, segue que
em toda
e, portanto,
.
Resposta
Concluímos que
.