Obtenha o raio de convergência da série de potências sumn=0^infty(5 n+38 n+1)^n(x+3)^n.

Passo 1

O enunciado dá a série de potências centrada em -3
sumn=0^inftyl(5n+38n+1r)^n(x+3)^n
e pede o raio de convergência R.
Conteúdo: séries de potências e teste da raiz para determinar R.

Passo 2

Aqui o coeficiente geral é
an = l(5n+38n+1r)^n
Pelo teste da raiz, o raio de convergência satisfaz
R = 1limsupntoinftyraiz[n]|an|

Passo 3

Calculemos
raiz[n]|an| = 5n+38n+1
Dividindo numerador e denominador por n e fazendo ntoinfty, obtemos
limntoinfty5n+38n+1 = 58

Passo 4

Então
limsupntoinftyraiz[n]|an| = 58,
e pelo teste da raiz a série converge se
58,l|x+3r| < 1 Longrightarrow l|x+3r| < 85

Resposta

O raio de convergência é
R = 85

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