Find the area of the region enclosed by one loop of the curve.
r=sin 2 theta

Passo 1

No enunciado temos a curva polar r=sin 2theta e queremos a área de um laço dessa curva. O conteúdo é cálculo de áreas em coordenadas polares, usando a fórmula
A = 12 integraltheta1^theta2 r^2 , dtheta

Passo 2

Para encontrar um laço isolado, identificamos onde sin2theta=0, ou seja 2theta=npiRightarrowtheta=npi/2. Entre dois zeros consecutivos (por exemplo theta=0 e theta=pi/2) a função sin2theta é não negativa, correspondendo a um laço completo.

Passo 3

Montamos a integral da área desse laço substituindo r=sin2theta e os limites theta1=0, theta2=pi/2:
A=12integral0^pi/2(sin2theta)^2,dtheta

Passo 4

Usamos a identidade sin^2u=tfrac1-cos2u2 com u=2theta, de modo que
(sin2theta)^2=1-cos4theta2
Logo
A=12integral0^pi/21-cos4theta2,dtheta =14integral0^pi/2(1-cos4theta),dtheta
Integrando,
integral0^pi/2(1-cos4theta),dtheta =l[theta-sin4theta4r]0^pi/2 =pi2,
pois sin(2pi)=0. Logo
A=14cdotpi2=pi8

Resposta

pi8

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