Exercício 2.5.12. Verificar que os vetores v1=e1-e3, v2=e1+e2 e v3=e1, onde e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1), são uma base de R^3. Encontrar as componentes do vetor v4=(0,1,2) com respeito à esta base.

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores em R^3
v1 = e1 - e3, v2 = e1 + e2, v3 = e1,
e pede para verificar que v1,v2,v3 é uma base de R^3 e, depois, encontrar as componentes de v4=(0,1,2) nessa base. Vamos usar o critério de independência linear via determinante e depois resolver a combinação linear para obter as coordenadas.

Passo 2

Para mostrar que v1,v2,v3 são linearmente independentes, montamos a matriz cujas colunas são esses vetores e calculamos seu determinante. Primeiro expressamos-os em coordenadas canônicas:
v1=(1,0,-1), v2=(1,1,0), v3=(1,0,0)
Logo a matriz é
M = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 -1& 0 & 0
Calculamos
det(M) =1cdot(1cdot0 - 0cdot0) -1cdot(0cdot0 - (-1)cdot0) +1cdot(0cdot0 - ( -1)cdot1) =0-0+1=1neq0
Como o determinante é não nulo, os vetores são independentes e formam uma base de R^3.

Passo 3

Queremos
Em coordenadas isso dá
Logo obtemos o sistema
Da terceira equação segue . Substituindo em vem

Resposta

As coordenadas de v4 na base v1,v2,v3 são
boxed(-2,;1,;1)

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