Exercício 2.5.13. Verificar que em os polinômios e são linearmente dependentes e encontrar uma base para o sub-espaço por eles gerado.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os polinômios
são linearmente dependentes no espaço e, em seguida, encontrar uma base do subespaço gerado por eles. Vamos usar a representação de cada polinômio pelo vetor de suas coordenadas na base canônica e resolver um sistema para descobrir a dependência.
Passo 2
Escrevendo cada como vetor em relação à base , temos
Passo 3
Procuramos escalares
Isso gera o sistema de coordenadas
Da primeira e da última equações obtemos .
Da terceira vem .
A segunda é então
que se satisfaz identicamente. Logo há soluções não-triviais. Tomando obtém–se
Passo 4
A relação não-trivial encontrada é
1cdot p1 + 1cdot p2 -3cdot p3 -1cdot p4 ;=;0,
ou seja
p1 + p2 - 3p3 - p4 = 0
Isto prova que p1,p2,p3,p4 é linearmente dependente. Além disso, como há exatamente uma relação de dependência, o subespaço gerado por eles tem dimensão 3.
Para escolher uma base, basta extrair três polinômios independentes. Veja que p1,p2,p3 são independentes, pois se alpha,p1+beta,p2+gamma,p3=0
então pela análise de coordenadas chega–se à única solução trivial alpha=beta=gamma=0.