Exercício 2.5.13. Verificar que em R3[x] os polinômios p1=2 x+x^3, p2=x+1, p3=x^2+x e p4=x^3-3 x^2+1 são linearmente dependentes e encontrar uma base para o sub-espaço por eles gerado.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os polinômios
p1=2x+x^3, p2=x+1, p3=x^2+x, p4=x^3-3x^2+1
são linearmente dependentes no espaço R3[x] e, em seguida, encontrar uma base do subespaço gerado por eles. Vamos usar a representação de cada polinômio pelo vetor de suas coordenadas na base canônica 1,x,x^2,x^3 e resolver um sistema para descobrir a dependência.

Passo 2

Escrevendo cada pi como vetor (a0,a1,a2,a3) em relação à base 1,x,x^2,x^3, temos
p1 = 0cdot1 + 2cdot x + 0cdot x^2 + 1cdot x^3;longrightarrow;(0,2,0,1),
p2 = 1cdot1 + 1cdot x + 0cdot x^2 + 0cdot x^3;longrightarrow;(1,1,0,0),
p3 = 0cdot1 + 1cdot x + 1cdot x^2 + 0cdot x^3;longrightarrow;(0,1,1,0),
p4 = 1cdot1 + 0cdot x -3cdot x^2 + 1cdot x^3;longrightarrow;(1,0,-3,1)

Passo 3

Procuramos escalares
Isso gera o sistema de coordenadas
Da primeira e da última equações obtemos .
Da terceira vem .
A segunda é então
que se satisfaz identicamente. Logo há soluções não-triviais. Tomando obtém–se

Passo 4

A relação não-trivial encontrada é
1cdot p1 + 1cdot p2 -3cdot p3 -1cdot p4 ;=;0,
ou seja
p1 + p2 - 3p3 - p4 = 0
Isto prova que p1,p2,p3,p4 é linearmente dependente. Além disso, como há exatamente uma relação de dependência, o subespaço gerado por eles tem dimensão 3.
Para escolher uma base, basta extrair três polinômios independentes. Veja que p1,p2,p3 são independentes, pois se
alpha,p1+beta,p2+gamma,p3=0
então pela análise de coordenadas chega–se à única solução trivial alpha=beta=gamma=0.

Resposta

Os polinômios são linearmente dependentes porque
p1 + p2 - 3p3 - p4 = 0
Uma base para o subespaço por eles gerado é
,p1,,p2,,p3

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