P 2.2. Seja
a matriz
que corresponde à operação de troca da linha
com a linha
. Escreva a matriz
e verifique que
.
Passo 1
O enunciado pede a matriz de permutação
que troca a linha
com a linha
em
e a verificação de que
. O conteúdo aqui é o conceito de matriz de permutação (ou matriz elemento de troca) e a propriedade de que aplicar duas vezes a mesma troca devolve a matriz original.
Passo 2
Definimos
Em outras palavras, e
trocadas.
Passo 3
Para mostrar que
, basta olhar aos seus elementos:
Há três situações:
- Se
, então e , logo . - Se
, por exemplo, então só é não nulo para , e só é não nulo para . Assim
e casos análogos ocorrem para
.
3. Para qualquer outro par misto, o único produto não nulo envolve um 0, dando
.
3. Para qualquer outro par
Logo todos os elementos de
coincidem com os de
.
Resposta
A matriz
e de fato (P^2=I].