P 2.2. Seja P a matriz n times n que corresponde à operação de troca da linha i com a linha j. Escreva a matriz P e verifique que P^2=I.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de permutação P que troca a linha i com a linha j em R^n e a verificação de que P^2=I. O conteúdo aqui é o conceito de matriz de permutação (ou matriz elemento de troca) e a propriedade de que aplicar duas vezes a mesma troca devolve a matriz original.

Passo 2

Definimos
Em outras palavras, e trocadas.

Passo 3

Para mostrar que P^2=I, basta olhar aos seus elementos:
(P^2)kl =summ=1^n pkm,pml
Há três situações:
  1. Se k,lnotini,j, então pkm=de<akm e pml=de<aml, logo (P^2)kl=de<akl.
  2. Se k=i, por exemplo, então pim só é não nulo para m=j, e pjl só é não nulo para l=i. Assim
(P^2)ii=pijpji=1cdot1=1, (P^2)ij=pijpjj=1cdot0=0,
e casos análogos ocorrem para k=j.
3. Para qualquer outro par (k,l) misto, o único produto não nulo envolve um 0, dando (P^2)kl=0.
Logo todos os elementos de P^2 coincidem com os de I.

Resposta

A matriz
e de fato (P^2=I].

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