Exercício 124. Calcule \int_{C} F d r, onde F(x, y)=\left(6 x y, 3 x^{2}+2 y\right) e C é o círculo x^{2}+y^{2}=r^{2}, no sentido anti-horário .

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede:
  • Dado o campo vetorial \,F(x,y) = (6xy,\;3x^{2}+2y)\,. Aqui a primeira componente é P(x,y)=6xy e a segunda é Q(x,y)=3x^{2}+2y.
  • A curva C é o círculo \,x^{2}+y^{2}=r^{2}\,, percorrido no sentido anti-horário.
  • O que se pede: calcular a integral de linha fechada
\int_{C} F\cdot dr
ou, de forma equivalente,
\int_{C} P\,dx + Q\,dy.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A curva é fechada (um círculo) e está no plano inteiro (não há buracos no domínio dado).
  • r é o raio do círculo (um parâmetro positivo).

Passo 2

Definição e duas ideias possíveis para resolver (sem ainda efetuar cálculos): explicar o que significa essa integral.
  • A integral de linha de um campo planar F=(P,Q) ao longo de uma curva C é
\int_{C} F\cdot dr = \int_{C} P\,dx + Q\,dy.
  • Métodos usuais para calcular isso:
    1. Checar se F é um campo conservativo (isto é, se existe uma função potencial \varphi tal que \nabla\varphi = F). Se for, a integral entre dois pontos vale \varphi(\text{fim})-\varphi(\text{início})í; para curva fechada isso dá zero.
    2. Parametrizar a curva e calcular diretamente \int_{0}^{2\pi} F(x(t),y(t))\cdot (x'(t),y'(t))\,dt.
Vou usar a primeira abordagem (campo conservativo) porque costuma ser a mais curta quando aplicável; mais abaixo faço a verificação direta por parametrização como checagem.

Passo 3

Critério para ser conservativo e verificação explícita.
  • Para um campo F=(P,Q) definido e com derivadas contínuas num domínio simplesmente conexo do plano, uma condição suficiente e necessária (no plano) é
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}.
  • Calcular as derivadas parciais para o campo dado:
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(6xy) = 6x,
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^{2}+2y) = 6x.
  • Como \dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{\partial Q}{\partial x} para todo (x,y), o campo satisfaz a condição. Além disso, o domínio natural aqui é \mathbb{R}^{2} (simply connected), então F é conservativo em todo o plano.

Passo 4

Como encontrar a função potencial \varphi (aula prática sobre potenciais).
  • Se F=\nabla\varphi, então \dfrac{\partial\varphi}{\partial x}=P=6xy e \dfrac{\partial\varphi}{\partial y}=Q=3x^{2}+2y.
  • Integro \dfrac{\partial\varphi}{\partial x}=6xy em relação a x:
\varphi(x,y)=\int 6xy\,dx = 3x^{2}y + g(y),
onde g(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.
  • Agora imposto que \dfrac{\partial\varphi}{\partial y}=3x^{2}+g'(y) deve ser igual a Q(x,y)=3x^{2}+2y. Assim
3x^{2}+g'(y)=3x^{2}+2y \quad\Rightarrow\quad g'(y)=2y.
  • Integro g'(y)=2y em relação a y:
g(y)=y^{2}+C,
onde C é constante real.
  • Portanto uma função potencial é
\varphi(x,y)=3x^{2}y + y^{2} + C.
(qualquer constante C não altera \nabla\varphi.)

Passo 5

Aplicar o teorema fundamental das integrais de linha e concluir (aula conceitual aplicada).
  • O teorema fundamental para integrais de linha diz que, se F=\nabla\varphi é conservativo, então a integral de F ao longo de uma curva \gamma de A a B vale \varphi(B)-\varphi(A).
  • No caso de uma curva fechada C (começo = fim), a diferença \varphi(\text{fim})-\varphi(\text{início})í é zero.
  • Como C é um círculo fechado e F é conservativo em todo \mathbb{R}^{2}, segue imediatamente que
\int_{C} F\cdot dr = 0.

Passo 6

Checagem alternativa por parametrização (confirmação prática e reforço didático).
  • Parametrização padrão do círculo de raio r no sentido anti-horário:
x(t)=r\cos t,\qquad y(t)=r\sin t,\qquad t\in[0,2\pi].
  • Derivadas:
dx = x'(t)\,dt = -r\sin t\,dt,\qquad dy = y'(t)\,dt = r\cos t\,dt.
  • Avaliar P e Q sobre a parametrização:
P(x(t),y(t)) = 6x y = 6(r\cos t)(r\sin t)=6r^{2}\cos t\sin t,
Q(x(t),y(t)) = 3x^{2}+2y = 3r^{2}\cos^{2}t + 2r\sin t.
  • O integrando P\,dx + Q\,dy em termos de t:
P\,dx = 6r^{2}\cos t\sin t \cdot (-r\sin t\,dt) = -6r^{3}\cos t\sin^{2}t\,dt,
Q\,dy = \bigl(3r^{2}\cos^{2}t + 2r\sin t\bigr)\cdot (r\cos t\,dt) = 3r^{3}\cos^{3}t\,dt + 2r^{2}\sin t\cos t\,dt.
  • Soma:
P\,dx + Q\,dy = \bigl(-6r^{3}\cos t\sin^{2}t + 3r^{3}\cos^{3}t + 2r^{2}\sin t\cos t\bigr)\,dt.
  • Integrar de 0 a 2\pi. Observações para simplificar sem fazer contas pesadas:
    • Funções do tipo \cos^{3}t, \cos t\sin^{2}t e \sin t\cos t são funções de período 2\pi cujo integral em um período inteiro é zero (são combinações de funções seno ou cosseno de múltiplos inteiros de t com média zero).
    • Formalmente, pode-se usar identidades trigonométricas para escrever cada termo como soma de cossenos/senos de frequências inteiras; todas têm média zero no intervalo [0,2\pi].
  • Portanto
\int_{0}^{2\pi} \bigl(P\,dx + Q\,dy\bigr)=0,
confirmando o resultado do método do potencial.

Resposta

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