Exercício 124. Calcule
, onde
e
é o círculo
, no sentido anti-horário .
Passo 1
O que o enunciado dá e o que ele pede:
- Dado o campo vetorial
. Aqui a primeira componente é e a segunda é . - A curva
é o círculo , percorrido no sentido anti-horário. - O que se pede: calcular a integral de linha fechada
ou, de forma equivalente,
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A curva é fechada (um círculo) e está no plano inteiro (não há buracos no domínio dado).
-
é o raio do círculo (um parâmetro positivo).
Passo 2
Definição e duas ideias possíveis para resolver (sem ainda efetuar cálculos): explicar o que significa essa integral.
- A integral de linha de um campo planar
ao longo de uma curva é
- Métodos usuais para calcular isso:
- Checar se
é um campo conservativo (isto é, se existe uma função potencial tal que ). Se for, a integral entre dois pontos vale ; para curva fechada isso dá zero. - Parametrizar a curva e calcular diretamente
.
- Checar se
Vou usar a primeira abordagem (campo conservativo) porque costuma ser a mais curta quando aplicável; mais abaixo faço a verificação direta por parametrização como checagem.
Passo 3
Critério para ser conservativo e verificação explícita.
- Para um campo
definido e com derivadas contínuas num domínio simplesmente conexo do plano, uma condição suficiente e necessária (no plano) é
- Calcular as derivadas parciais para o campo dado:
- Como
para todo , o campo satisfaz a condição. Além disso, o domínio natural aqui é (simply connected), então é conservativo em todo o plano.
Passo 4
Como encontrar a função potencial
(aula prática sobre potenciais).
- Se
, então e . - Integro
em relação a :
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
- Agora imposto que
deve ser igual a . Assim
- Integro
em relação a :
onde
é constante real.
- Portanto uma função potencial é
(qualquer constante
não altera
.)
Passo 5
Aplicar o teorema fundamental das integrais de linha e concluir (aula conceitual aplicada).
- O teorema fundamental para integrais de linha diz que, se
é conservativo, então a integral de ao longo de uma curva de a vale . - No caso de uma curva fechada
(começo = fim), a diferença é zero. - Como
é um círculo fechado e é conservativo em todo , segue imediatamente que
Passo 6
Checagem alternativa por parametrização (confirmação prática e reforço didático).
- Parametrização padrão do círculo de raio
no sentido anti-horário:
- Derivadas:
- Avaliar
e sobre a parametrização:
- O integrando
em termos de :
- Soma:
- Integrar de
a . Observações para simplificar sem fazer contas pesadas: - Funções do tipo
, e são funções de período cujo integral em um período inteiro é zero (são combinações de funções seno ou cosseno de múltiplos inteiros de com média zero). - Formalmente, pode-se usar identidades trigonométricas para escrever cada termo como soma de cossenos/senos de frequências inteiras; todas têm média zero no intervalo
.
- Funções do tipo
- Portanto
confirmando o resultado do método do potencial.