Exercício 12. (Apostol, capítulo 9.13, exercício 21) (Método dos mínimos quadrados. De novo…) Considere uma função f: R R dada por f(x)=a x+b. Dados pontos (x1, y1), ldots,(xn, yn) em R^2, determine os valores de a e b tais que
E(a, b)=sumk=1^n(f(xk)-yk)^2
seja o menor possível.

Passo 1

O enunciado pede que ajustemos uma reta ,f(x)=a x+b aos pontos l(x1,y1r),dots,l(xn,ynr) de forma a minimizar a soma dos quadrados dos erros
E(a,b)=sumk=1^nl(a xk+b - ykr)^2
O conteúdo aqui é o Método dos Mínimos Quadrados, que exige calcular derivadas parciais de E em a e b e resolver o sistema linear resultante (as equações normais).

Passo 2

Para encontrar o mínimo de E(a,b) calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partial Epartial a =2sumk=1^nxkl(a xk+b - ykr) =0
partial Epartial b =2sumk=1^nl(a xk+b - ykr) =0

Passo 3

Dividindo cada equação por 2 e reorganizando obtemos as equações normais
asumk=1^nxk^2 ;+; bsumk=1^nxk ;=; sumk=1^nxkyk
asumk=1^nxk ;+; b,n ;=; sumk=1^nyk

Passo 4

Definimos as somas abreviadas
Sx=sumk=1^nxk, Sy=sumk=1^nyk, Sxx=sumk=1^nxk^2, Sxy=sumk=1^nxkyk
As equações normais ficam
a,Sxx+b,Sx=Sxy, a,Sx+b,n=Sy
Pela regra de Cramer, o determinante comum é
De<a = Sxx,n - (Sx)^2
Logo
a =n,Sxy-Sx,SyDe<a
b =Sxx,Sy-Sx,SxyDe<a

Resposta

boxed a =nsumk=1^nxkyk -l(sumk=1^nxkr)l(sumk=1^nykr) ,nsumk=1^nxk^2 -l(sumk=1^nxkr)^2,, b =sumk=1^nxk^2,sumk=1^nyk -sumk=1^nxk,sumk=1^nxkyk ,nsumk=1^nxk^2 -l(sumk=1^nxkr)^2,

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