Considere f uma função pare seja h=g circ f. Mostre que h é uma função par. Supondo f uma função ímpar, podemos concluir que h também será?

Passo 1

Vamos resumir o que temos e o que precisamos usar. O enunciado define uma função f par e define
h = gcirc f,
isto é, h(x)=gl(f(x)r). Queremos mostrar que h é par, lembrando a definição:
– Uma função u é par se, para todo x em seu domínio,
u(-x)=u(x)
Em seguida, supõe-se f ímpar e pergunta-se se, nesse caso, h também seria ímpar. A definição de ímpar é:
– Uma função u é ímpar se, para todo x em seu domínio,
u(-x)=-u(x)

Passo 2

Mostrando que h é par quando f é par. Pela definição de par, temos
f(-x)=f(x)forall x
Logo,
h(-x)=gl(f(-x)r)=gl(f(x)r)=h(x)
Isso prova que h satisfaz h(-x)=h(x), ou seja, h é par.

Passo 3

Agora suponha f ímpar, isto é,
f(-x)=-f(x)forall x
Então
h(-x)=gl(f(-x)r)=gl(-f(x)r)

Passo 4

Para h ser ímpar, precisaríamos ter
h(-x)=-h(x) Long<=ftrightarrow gl(-f(x)r)=-gl(f(x)r)
Mas isso exige que g seja ímpar. Como o enunciado não impõe nenhuma condição sobre g, não podemos garantir que
gl(-f(x)r)=-gl(f(x)r)
para todo x.

Passo 5

Portanto, quando f é ímpar, não podemos concluir que h=gcirc f seja ímpar, a menos que saibamos adicionalmente que g também é ímpar.

Resposta

Para f par, h=gcirc f é par.
Para f ímpar, h=gcirc f não precisa ser ímpar (só será ímpar se g for ímpar).

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