Considere
uma função pare seja
. Mostre que
é uma função par. Supondo
uma função ímpar, podemos concluir que
também será?
Passo 1
Vamos resumir o que temos e o que precisamos usar. O enunciado define uma função
par e define
isto é,
. Queremos mostrar que
é par, lembrando a definição:
– Uma função
é par se, para todo
em seu domínio,
Em seguida, supõe-se
ímpar e pergunta-se se, nesse caso,
também seria ímpar. A definição de ímpar é:
– Uma função
é ímpar se, para todo
em seu domínio,
Passo 2
Mostrando que
é par quando
é par. Pela definição de par, temos
Logo,
Isso prova que
satisfaz
, ou seja,
é par.
Passo 3
Agora suponha
ímpar, isto é,
Então
Passo 4
Para
ser ímpar, precisaríamos ter
Mas isso exige que
seja ímpar. Como o enunciado não impõe nenhuma condição sobre
, não podemos garantir que
para todo
.
Passo 5
Portanto, quando
é ímpar, não podemos concluir que
seja ímpar, a menos que saibamos adicionalmente que
também é ímpar.
Resposta
Para
par,
é par.
Para ímpar,
não precisa ser ímpar (só será ímpar se
for ímpar).
Para