Exercício 13. (Apostol seção 14.18 exercício 3) Seja X uma variável aleatória com distribuição normal. Descreva a função de densidade de probabilidade da variável aleatória Y, em que
Y=X^2

Passo 1

O enunciado diz que X é uma variável aleatória com distribuição normal e queremos achar a densidade de Y=X^2. O conteúdo necessário é o método de mudança de variável para transformações não monótonas, onde usamos todas as raízes da equação y=x^2.

Passo 2

Definimos a transformação g(x)=x^2. Para um valor y>0 há duas raízes de x^2=y, a saber
x1(y)=raizy, x2(y)=-raizy
A densidade de Y é então dada pela soma das contribuições de cada ramo:
fY(y) =sumi=1^2fXl(xi(y)r),gl|dxidygr|

Passo 3

Calculamos a derivada de cada ramo:
ddyl(pmraizyr)=pm12raizy,
e em módulo l|dxi/dyr|=1/(2raizy). Logo, para y>0,
fY(y) =12raizyl[fX(raizy)+fX(-raizy)r]
Para y<0 temos fY(y)=0.

Passo 4

Se Xsim N(mu,sigma^2), então
fX(x) =1sigmaraiz2pi exp!l(-(x-mu)^22sigma^2r)
Substituindo em fY(y) obtemos, para y>0,
fY(y) =12sigmaraiz2pi,y gl[ exp!l(-(raizy-mu)^22sigma^2r) + exp!l(-(-raizy-mu)^22sigma^2r) gr]

Resposta

fY(y)= 12sigmaraiz2pi,y l[exp!l(-tfrac(raizy-mu)^22sigma^2r) +exp!l(-tfrac(-raizy-mu)^22sigma^2r)r], &y>0, 0,&y<=0

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