Exercício 13. (Apostol seção 14.18 exercício 3) Seja uma variável aleatória com distribuição normal. Descreva a função de densidade de probabilidade da variável aleatória , em que
Passo 1
O enunciado diz que é uma variável aleatória com distribuição normal e queremos achar a densidade de . O conteúdo necessário é o método de mudança de variável para transformações não monótonas, onde usamos todas as raízes da equação .
Passo 2
Definimos a transformação . Para um valor há duas raízes de , a saber
A densidade de é então dada pela soma das contribuições de cada ramo:
Passo 3
Calculamos a derivada de cada ramo:
ddyl(pmraizyr)=pm12raizy,
e em módulo l|dxi/dyr|=1/(2raizy). Logo, para y>0,