Exercício 18. (Apostol seção 14.27 exercícios 3) Mostre as seguintes propriedades para distribuições contínuas ou discretas:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, seja
uma v.a. com distribuição contínua ou discreta, vale
Aqui vamos usar a definição de variância como esperança do quadrado do desvio em relação à média e as propriedades de linearidade da esperança.
Passo 2
Recordando a definição de variância, temos
Esse é o ponto de partida: a variância é a esperança do quadrado da diferença entre
e sua média.
Passo 3
Expandindo o quadrado dentro da esperança, obtemos
Passo 4
Agora aplicamos a esperança em cada termo usando linearidade e o fato de que
é constante:
Como
é constante,
e também
.
Passo 5
Substituindo e simplificando: