Exercício 18. (Apostol seção 14.27 exercícios 3) Mostre as seguintes propriedades para distribuições contínuas ou discretas:
Var(X)=E(X^2)-E(X)^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, seja X uma v.a. com distribuição contínua ou discreta, vale
Var(X)=El(X^2r)-E(X)^2
Aqui vamos usar a definição de variância como esperança do quadrado do desvio em relação à média e as propriedades de linearidade da esperança.

Passo 2

Recordando a definição de variância, temos
Var(X)=El[(X - E(X))^2r]
Esse é o ponto de partida: a variância é a esperança do quadrado da diferença entre X e sua média.

Passo 3

Expandindo o quadrado dentro da esperança, obtemos
(X - E(X))^2 = X^2 - 2,X,E(X) + l[E(X)r]^2

Passo 4

Agora aplicamos a esperança em cada termo usando linearidade e o fato de que E(X) é constante:
El[X^2 - 2X,E(X) + E(X)^2r] = El(X^2r) - 2,E(X),E(X) + El(E(X)^2r)
Como E(X) é constante, El(E(X)^2r)=l[E(X)r]^2 e também El(X,E(X)r)=E(X),E(X).

Passo 5

Substituindo e simplificando:
Var(X) = El(X^2r) - 2,l[E(X)r]^2 + l[E(X)r]^2 = El(X^2r) - l[E(X)r]^2

Resposta

boxedVar(X)=El(X^2r)-E(X)^2

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