2.6I Determine o ponto da superfície z=3 x^2-y^2 onde o plano tangente é paralelo ao plano de equação 3 x+y+2 z=1. [resp. P0(-1 / 4,1 / 4,1 / 8) ; alpha: 3 x+y+2 z+1 / 4=0 ]

Passo 1

O enunciado pede o ponto da superfície
z = 3x^2 - y^2
cujo plano tangente seja paralelo ao plano
3x + y + 2z = 1
Para isso vamos usar derivadas parciais para obter o vetor normal do plano tangente e igualá-lo (até um fator) ao vetor normal (3,1,2) do plano dado.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f(x,y)=3x^2-y^2:
fx(x,y)=6x, fy(x,y)=-2y
Num ponto (x0,y0,z0) da superfície, o plano tangente z-z0 = fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0) tem vetor normal
vec nt = l(-fx(x0,y0),,-fy(x0,y0),,1r) = l(-6x0,;2y0,;1r)

Passo 3

Impondo que vec nt seja paralelo a (3,1,2), existe lambda tal que
(-6x0,,2y0,,1) = lambda,(3,1,2)
Das componentes obtemos
1 = 2lambda ;Rightarrow; lambda=tfrac12,
2y0 = lambda ;Rightarrow; 2y0=tfrac12;Rightarrow; y0=tfrac14,
-6x0 = 3lambda ;Rightarrow; -6x0=tfrac32;Rightarrow; x0=-tfrac14

Passo 4

O valor de z0 vem da própria superfície:
z0 = 3l(-tfrac14r)^2 - l(tfrac14r)^2 = 3cdottfrac116 - tfrac116 = tfrac216 = tfrac18
Logo o ponto é
P0l(-tfrac14,tfrac14,tfrac18r).

Passo 5

O plano tangente tem vetor normal proporcional a (3,1,2), podemos usar exatamente (3,1,2). A equação geral é
3(x - x0) + 1,(y - y0) + 2(z - z0) = 0
Substituindo x0=-tfrac14, y0=tfrac14, z0=tfrac18 e simplificando, chega-se a
3x + y + 2z + tfrac14 = 0

Resposta

O ponto é P0l(-tfrac14,tfrac14,tfrac18r) e o plano tangente é
alpha: 3x + y + 2z + tfrac14 = 0

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