Exercício 13. (Apostol seção 14.18 exercício 3) Seja uma variável aleatória com distribuição normal. Descreva a função de densidade de probabilidade da variável aleatória , em que
Passo 1
O enunciado diz que tem distribuição normal (suponhamos a normal padrão ) e define
Queremos encontrar a densidade de probabilidade de . Para isso, vamos usar o método de transformação de variáveis contínuas: se é monotônica, então
Passo 2
Observe que a função g(y)=tan(y) é a inversa de y=arctan(x) e é definida e estritamente crescente em
yinl(-tfracpi2,tfracpi2r)
A sua derivada é
g'(y)=ddytan(y)=sec^2(y)
Passo 3
Pelo teorema da transformação de variáveis, para yinl(-tfracpi2,tfracpi2r) temos