Exercício 13. (Apostol seção 14.18 exercício 3) Seja X uma variável aleatória com distribuição normal. Descreva a função de densidade de probabilidade da variável aleatória Y, em que
Y=arctan (X)

Passo 1

O enunciado diz que X tem distribuição normal (suponhamos a normal padrão N(0,1)) e define
Y = arctan(X)
Queremos encontrar a densidade de probabilidade de Y. Para isso, vamos usar o método de transformação de variáveis contínuas: se Y=g(X) é monotônica, então
fY(y)=fXl(g(y)r),l|g'(y)r|

Passo 2

Observe que a função g(y)=tan(y) é a inversa de y=arctan(x) e é definida e estritamente crescente em
yinl(-tfracpi2,tfracpi2r)
A sua derivada é
g'(y)=ddytan(y)=sec^2(y)

Passo 3

Pelo teorema da transformação de variáveis, para yinl(-tfracpi2,tfracpi2r) temos
fY(y) = fXl(tan(y)r),l|sec^2(y)r| = fXl(tan(y)r),sec^2(y),
e fY(y)=0 fora desse intervalo.

Passo 4

Como XsimN(0,1), sua densidade é
fX(x)=1raiz2piexp!l(-tfracx^22r)
Logo, substituindo x=tan(y), obtemos para yinl(-tfracpi2,tfracpi2r):
fY(y) = 1raiz2piexp!l(-tfrac(tan y)^22r),sec^2(y)

Resposta

fY(y)= dfracsec^2(y)raiz2piexp!l(-tfractan^2(y)2r), &yinl(-tfracpi2,tfracpi2r),[1em] 0,&caso contrário á]

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