Obtenha a derivada de f(x)=(2 x^2+5 x+2)(x-x^2) de duas formas:
(a) Através da regra do Produto
(b) Fazendo a multiplicação antes de derivar

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = l(2x^2 + 5x + 2r)l(x - x^2r)
e pede f'(x) de duas formas: (a) usando a regra do produto e (b) expandindo primeiro e depois derivando.

Passo 2

Seja u(x)=2x^2+5x+2 e v(x)=x - x^2. Então
u'(x)=4x+5, v'(x)=1-2x
Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x) =(4x+5)(x - x^2)+(2x^2+5x+2)(1-2x)

Passo 3

Agora simplificamos cada termo:
(4x+5)(x - x^2) =4x^2+5x-4x^3-5x^2 =-4x^3-x^2+5x,
(2x^2+5x+2)(1-2x) =2x^2+5x+2-4x^3-10x^2-4x =-4x^3-8x^2+x+2
Somando:
f'(x)=-8x^3-9x^2+6x+2

Passo 4

Expandimos primeiro f(x):
f(x)=(2x^2+5x+2)(x - x^2) =2x^3+5x^2+2x-2x^4-5x^3-2x^2 =-2x^4-3x^3+3x^2+2x
Agora derivamos esse polinômio:
f'(x)=-8x^3-9x^2+6x+2

Passo 5

Observamos que ambas as abordagens resultam em
f'(x)=-8x^3-9x^2+6x+2

Resposta

(a) Pela regra do produto:
f'(x)=-8x^3-9x^2+6x+2
(b) Expandindo e depois derivando:
f'(x)=-8x^3-9x^2+6x+2

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