Com o Método dos Coeficientes a Determinar (MCD), encontre a solução geral da edo.
y^prime prime=9 x^2+2 x-1

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
y'' = 9x^2 + 2x - 1
usando o Método dos Coeficientes a Determinar (MCD).
Conteúdo: equações diferenciais ordinárias de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo polinomial.
Estratégia: encontrar a solução geral da homogênea yh e uma solução particular yp por palpite polinomial.

Passo 2

Encontre a solução geral da homogênea associada
y'' = 0
A equação característica é
r^2 = 0 Longrightarrow r = 0 (dupla),
logo
yh(x) = C1 + C2,x

Passo 3

Para yp, como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 2, palpite um polinômio de grau 2+2=4:
yp(x) = A x^4 + B x^3 + C x^2 + D x + E

Passo 4

Calcule as derivadas de yp:
yp'(x) = 4A x^3 + 3B x^2 + 2C x + D,
yp''(x) = 12A x^2 + 6B x + 2C
Substitua em y'' = 9x^2 + 2x - 1:
12A x^2 + 6B x + 2C = 9x^2 + 2x - 1

Passo 5

Iguale coeficientes de cada potência de x:
12A = 9, 6B = 2, 2C = -1
Logo
A = tfrac34, B = tfrac13, C = -tfrac12
Os termos D x + E não aparecem em yp'', portanto D e E podem ser absorvidos em C1 e C2.

Passo 6

Monte a solução particular com os coeficientes encontrados:
yp(x) = tfrac34x^4 + tfrac13x^3 - tfrac12x^2
A solução geral é
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 + C2,x + tfrac34x^4 + tfrac13x^3 - tfrac12x^2

Resposta

y(x) = tfrac34x^4 + tfrac13x^3 - tfrac12x^2 + C1 + C2,x

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