Exercício 13. Calcule \iint_{D}(x-y) d x d y, onde D a região limitada por y=0, y=1-x e y=x+1.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{D} (x-y)\,dx\,dy,
onde D é a região limitada pelas retas y=0, y=1-x e y=x+1.
Informações dadas (explicitadas):
  • As curvas que limitam D são as retas y=0, y=1-x e y=x+1.
  • A região D é a região fechada e limitada por essas três retas (ou seja, o triângulo formado por elas).
As perguntas implícitas que vamos responder:
  • Determinar a descrição da região D (vértices/limites).
  • Montar a integral dupla apropriada.
  • Calcular a integral e apresentar o resultado final.

Passo 2

Encontrar os vértices do triângulo D determinando as interseções das retas.
Interseção entre y=0 e y=1-x:
0 = 1-x \quad\Rightarrow\quad x=1,
logo ponto (1,0).
Interseção entre y=0 e y=x+1:
0 = x+1 \quad\Rightarrow\quad x=-1,
logo ponto (-1,0).
Interseção entre y=1-x e y=x+1:
1-x = x+1 \quad\Rightarrow\quad -2x=0 \quad\Rightarrow\quad x=0,
substituindo x=0 em qualquer uma dá y=1, logo ponto (0,1).
Portanto D é o triângulo com vértices (-1,0), (1,0) e (0,1).

Passo 3

Escolher a ordem de integração mais conveniente. Uma forma simples é integrar primeiro em x e depois em y (ordem dx\,dy), porque para cada y\in[0,1] a projeção horizontal do triângulo é um segmento de x com extremos dados explicitamente pelas retas.
Expressar as retas em função de x:
  • Da reta y=x+1 temos x = y-1.
  • Da reta y=1-x temos x = 1-y.
Para um y fixo entre 0 e 1, x varia de x=y-1 (lado esquerdo) até x=1-y (lado direito). Logo os limites são
0 \le y \le 1,\qquad y-1 \le x \le 1-y.

Passo 4

Antes de montar a integral, observar uma simetria útil: a região D é simétrica em relação ao eixo y (ou seja, se (x,y)\in D então (-x,y)\in D). Isso implica que
\iint_{D} x\,dx\,dy = 0,
porque x é uma função ímpar em x e a região é par em x.
Assim
\iint_{D} (x-y)\,dx\,dy = \iint_{D} x\,dx\,dy \;-\; \iint_{D} y\,dx\,dy = 0 \;-\; \iint_{D} y\,dx\,dy = -\iint_{D} y\,dx\,dy.
Portanto basta calcular \iint_{D} y\,dx\,dy.

Passo 5

Montar a integral para \iint_{D} y\,dx\,dy usando os limites obtidos:
\iint_{D} y\,dx\,dy = \int_{y=0}^{1}\left(\int_{x=y-1}^{\,1-y} y\,dx\right)dy.
Aqui y é tratado como constante na integral interna em x.

Passo 6

Calcular a integral interna:
\int_{x=y-1}^{\,1-y} y\,dx = y\bigg[ x \bigg]_{x=y-1}^{x=1-y} = y\big((1-y)-(y-1)\big).
Simplificar o parêntese:
(1-y)-(y-1) = 1-y-y+1 = 2-2y.
Logo a integral interna vale y(2-2y)=2y(1-y).

Passo 7

Calcular a integral externa:
\iint_{D} y\,dx\,dy = \int_{0}^{1} 2y(1-y)\,dy = 2\int_{0}^{1} (y-y^{2})\,dy.
Integrando termo a termo:
2\left[\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = 2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) = 2\left(\frac{1}{6}\right) = \frac{1}{3}.

Passo 8

Voltando à integral original:
\iint_{D} (x-y)\,dx\,dy = -\iint_{D} y\,dx\,dy = -\frac{1}{3}.

Resposta

-\dfrac{1}{3}

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