Exercício 13. Calcule
, onde
a região limitada por
e
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
onde
é a região limitada pelas retas
,
e
.
Informações dadas (explicitadas):
- As curvas que limitam
são as retas , e . - A região
é a região fechada e limitada por essas três retas (ou seja, o triângulo formado por elas).
As perguntas implícitas que vamos responder:
- Determinar a descrição da região
(vértices/limites). - Montar a integral dupla apropriada.
- Calcular a integral e apresentar o resultado final.
Passo 2
Encontrar os vértices do triângulo
determinando as interseções das retas.
Interseção entre
e
:
logo ponto
.
Interseção entre
e
:
logo ponto
.
Interseção entre
e
:
substituindo
em qualquer uma dá
, logo ponto
.
Portanto
é o triângulo com vértices
,
e
.
Passo 3
Escolher a ordem de integração mais conveniente. Uma forma simples é integrar primeiro em
e depois em
(ordem
), porque para cada
a projeção horizontal do triângulo é um segmento de
com extremos dados explicitamente pelas retas.
Expressar as retas em função de
:
- Da reta
temos . - Da reta
temos .
Para um
fixo entre
e
,
varia de
(lado esquerdo) até
(lado direito). Logo os limites são
Passo 4
Antes de montar a integral, observar uma simetria útil: a região
é simétrica em relação ao eixo
(ou seja, se
então
). Isso implica que
porque
é uma função ímpar em
e a região é par em
.
Assim
Portanto basta calcular
.
Passo 5
Montar a integral para
usando os limites obtidos:
Aqui
é tratado como constante na integral interna em
.
Passo 6
Calcular a integral interna:
Simplificar o parêntese:
Logo a integral interna vale
.
Passo 7
Calcular a integral externa:
Integrando termo a termo:
Passo 8
Voltando à integral original: