Exercício 16. Calcule \iint_{D}(2 y-5 x) d x d y, onde D a região limitada por x=0, y=x+1 e y=-1-x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{D} (2y-5x)\,dx\,dy,
onde D é a região limitada pelas retas x=0, y=x+1 e y=-1-x.
Informações relevantes fornecidas:
  • As fronteiras de D são as três retas dadas: x=0, y=x+1 e y=-1-x.
  • A integral a calcular é a integral dupla da função f(x,y)=2y-5x sobre a região D.
  • A região D é uma região fechada e limitada formada pela interseção dessas três retas (uma região triangular).

Passo 2

Identificar a descrição conveniente de D para montar a integral iterada.
Vamos entender a geometria de D. As duas retas inclinadas são y=x+1 (declive +1) e y=-x-1 (declive -1). As interseções relevantes são obtidas resolvendo pares de equações:
  • Interseção com x=0: para x=0 temos y=x+1=1 e y=-x-1=-1; portanto os pontos (0,1) e (0,-1).
  • Interseção entre y=x+1 e y=-x-1: resolvendo x+1=-x-1 x=-1 e y=0; ponto (-1,0).
Logo D é o triângulo com vértices (-1,0), (0,1) e (0,-1).
Para montar a integral, é natural usar fatias verticais (fixar x e variar y entre as retas). Para um x fixo entre -1 e 0:
  • a reta inferior é y=-x-1,
  • a reta superior é y=x+1.
Portanto podemos escrever a integral iterada como
\int_{x=-1}^{0}\left(\int_{y=-x-1}^{\,x+1} (2y-5x)\,dy\right)dx.
Aqui expliquei como determinar os limites: para cada x em [-1,0], y varia da curva inferior y=-x-1 até a curva superior y=x+1, porque para esses x vale x+1\ge -x-1.

Passo 3

Calcular a integral interna em y:
\int_{y=-x-1}^{\,x+1} (2y-5x)\,dy.
Primeiro integrar termo a termo em y. A primitiva (em relação a y) de 2y é y^{2}. A primitiva de -5x em relação a y é -5x\,y (tratando x como constante durante a integração em y). Logo uma primitiva geral é
y^{2}-5x y.
Avaliar essa primitiva entre y=-x-1 e y=x+1:
\bigl[y^{2}-5x y\bigr]_{y=-x-1}^{\,y=x+1} = \bigl((x+1)^{2}-5x(x+1)\bigr) - \bigl((-x-1)^{2}-5x(-x-1)\bigr).

Passo 4

Simplificar a expressão obtida no Passo 3.
Observe que (-x-1)^{2}=(x+1)^{2}. Assim as parcelas com (x+1)^{2} se cancelam ao subtrair. Restam os termos em 5x:
\bigl((x+1)^{2}-5x(x+1)\bigr) - \bigl((x+1)^{2}+5x(x+1)\bigr) = -10x(x+1).
Portanto a integral interna vale -10x(x+1). Assim a integral dupla reduz-se à integral em x
\int_{-1}^{0} -10x(x+1)\,dx.

Passo 5

Calcular a integral em x.
Expandindo, -10x(x+1) = -10(x^{2}+x). Uma primitiva é
-10\left(\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}\right).
Avaliar entre x=-1 e x=0
-10\left[\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}\right]_{-1}^{0} = -10\biggl(0 -\Bigl(\frac{(-1)^{3}}{3}+\frac{(-1)^{2}}{2}\Bigr)\biggr) = -10\biggl(-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\biggr).

Passo 6

Simplificar o resultado numérico (a última simplificação será apresentada somente na seção de resposta).
Temos a diferença interna -\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}, portanto a quantidade acima é -10\cdot\bigl(-\dfrac{1}{6}\bigr).

Resposta

\dfrac{5}{3}

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