Exercício 16. Calcule
, onde
a região limitada por
e
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
onde
é a região limitada pelas retas
,
e
.
Informações relevantes fornecidas:
- As fronteiras de
são as três retas dadas: , e . - A integral a calcular é a integral dupla da função
sobre a região . - A região
é uma região fechada e limitada formada pela interseção dessas três retas (uma região triangular).
Passo 2
Identificar a descrição conveniente de
para montar a integral iterada.
Vamos entender a geometria de
. As duas retas inclinadas são
(declive
) e
(declive
). As interseções relevantes são obtidas resolvendo pares de equações:
- Interseção com
: para temos e ; portanto os pontos e . - Interseção entre
e : resolvendo dá e ; ponto .
Logo
é o triângulo com vértices
,
e
.
Para montar a integral, é natural usar fatias verticais (fixar
e variar
entre as retas). Para um
fixo entre
e
:
- a reta inferior é
, - a reta superior é
.
Portanto podemos escrever a integral iterada como
Aqui expliquei como determinar os limites: para cada
em
,
varia da curva inferior
até a curva superior
, porque para esses
vale
.
Passo 3
Calcular a integral interna em
:
Primeiro integrar termo a termo em
. A primitiva (em relação a
) de
é
. A primitiva de
em relação a
é
(tratando
como constante durante a integração em
). Logo uma primitiva geral é
Avaliar essa primitiva entre
e
:
Passo 4
Simplificar a expressão obtida no Passo 3.
Observe que
. Assim as parcelas com
se cancelam ao subtrair. Restam os termos em
:
Portanto a integral interna vale
. Assim a integral dupla reduz-se à integral em
Passo 5
Calcular a integral em
.
Expandindo,
. Uma primitiva é
Avaliar entre
e
dá
Passo 6
Simplificar o resultado numérico (a última simplificação será apresentada somente na seção de resposta).
Temos a diferença interna
, portanto a quantidade acima é
.