Seja
uma função contínua. Se
é um número estritamente compreendido entre o máximo e o mínimo de
em
, então
é desconexo.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função contínua
e um valor
tal que
Queremos mostrar que o complemento do nível
, isto é
, é um espaço desconexo. Para isso vamos usar a continuidade de
e o fato de que pré-imagens de conjuntos abertos são abertas, além de explorar que há pontos em que
fica abaixo de
e pontos em que
fica acima de
.
Passo 2
Como
está estritamente entre o mínimo e o máximo de
, existem
tais que
Isso garante que os conjuntos
são ambos não-vazios.
Passo 3
Pela continuidade de
, as intervalos abertos
e
têm pré-imagens abertas em
. Logo
são abertos em
. Além disso, claramente
e
Passo 4
Portanto
se escreve como união de dois abertos
e
disjuntos e não-vazios. Isso exatamente significa que
é desconexo.
Resposta
que são abertos em
, disjuntos, não-vazios e satisfazem
.