Seja f: M R uma função contínua. Se c in R é um número estritamente compreendido entre o máximo e o mínimo de f em M, então f^-1(c)^c é desconexo.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função contínua fcolon MtoR e um valor cinR tal que
minxin Mf(x) < c < maxxin Mf(x)
Queremos mostrar que o complemento do nível f^-1(c), isto é Msetminus f^-1(c), é um espaço desconexo. Para isso vamos usar a continuidade de f e o fato de que pré-imagens de conjuntos abertos são abertas, além de explorar que há pontos em que f fica abaixo de c e pontos em que f fica acima de c.

Passo 2

Como c está estritamente entre o mínimo e o máximo de f, existem x1,x2in M tais que
f(x1)<c e f(x2)>c
Isso garante que os conjuntos
U = xin M mid f(x)<c e V = xin M mid f(x)>c
são ambos não-vazios.

Passo 3

Pela continuidade de f, as intervalos abertos (-infty,c) e (c,infty) têm pré-imagens abertas em M. Logo
U = f^-1l((-infty,c)r) e V = f^-1l((c,infty)r)
são abertos em M. Além disso, claramente Ucap V=varnothing e
Ucup V = xmid f(x)<ccupxmid f(x)>c = Msetminusxmid f(x)=c = Msetminus f^-1(c)

Passo 4

Portanto Msetminus f^-1(c) se escreve como união de dois abertos U e V disjuntos e não-vazios. Isso exatamente significa que Msetminus f^-1(c) é desconexo.

Resposta

Msetminus f^-1(c) é desconexo, pois se separa em
U = f^-1l((-infty,c)r) e V = f^-1l((c,infty)r),
que são abertos em M, disjuntos, não-vazios e satisfazem Ucup V = Msetminus f^-1(c).

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