Exercício 13. Calcule \operatorname{proj}_{\vec{u}} \vec{v} nos seguintes casos:
\vec{v}=(2,3,5), \vec{u}=(1,0,1);

Passo 1

O enunciado pede a projeção de \vec{v}=(2,3,5) sobre \vec{u}=(1,0,1). O conteúdo aqui é produto escalar e projeção de vetores, cuja fórmula é
\operatorname{proj}_{\vec{u}}\vec{v} = \frac{\vec{v}\cdot \vec{u}}{\vec{u}\cdot \vec{u}}\,\vec{u}.

Passo 2

Vamos calcular o produto escalar \vec{v}\cdot \vec{u}.
\vec{v}\cdot \vec{u} = 2\cdot 1 + 3\cdot 0 + 5\cdot 1 = 2 + 0 + 5 = 7.

Passo 3

Agora calculamos \vec{u}\cdot \vec{u}, que é o quadrado da norma de \vec{u}:
\vec{u}\cdot \vec{u} = 1^2 + 0^2 + 1^2 = 1 + 0 + 1 = 2.

Passo 4

Substituindo na fórmula da projeção, temos
\operatorname{proj}_{\vec{u}}\vec{v} = \frac{7}{2}\,\vec{u} = \frac{7}{2}\,(1,0,1) = \Bigl(\tfrac{7}{2},0,\tfrac{7}{2}\Bigr).

Resposta

\displaystyle \operatorname{proj}_{\vec{u}}\vec{v} = \bigl(\tfrac{7}{2},0,\tfrac{7}{2}\bigr).

Exercícios relacionados