Exercício 5.13 Calcule utilizando a técnica de integração por partes, sendo os integrandos com seus domínios maximais.
\int x e^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x e^{x}\,dx
usando integração por partes. O conteúdo aqui é a técnica de integração por partes, que exige escolher duas funções u e dv para aplicar a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
O domínio natural de x e^{x} é (-\infty,\infty).

Passo 2

Escolhemos
u = x
e
dv = e^{x}\,dx.
Essa escolha é padrão quando aparece um polinômio multiplicando uma exponencial, pois du simplifica o polinômio e v continua exponencial.

Passo 3

Derivamos u e integramos dv:
du = dx,
v = \int e^{x}\,dx = e^{x}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes, temos
\int x e^{x}\,dx = u\,v - \int v\,du = x e^{x} - \int e^{x}\,dx.

Passo 5

Calculamos a integral restante:
\int e^{x}\,dx = e^{x}.
Logo
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C.

Passo 6

Fatorando e^{x}, chegamos à forma mais compacta:
\int x e^{x}\,dx = (x - 1)\,e^{x} + C,
onde C é a constante de integração e o resultado vale para todo x\in(-\infty,\infty).

Resposta

\int x e^{x}\,dx = (x - 1)\,e^{x} + C,\quad x\in(-\infty,\infty).

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