Exercício 5.13 Calcule utilizando a técnica de integração por partes, sendo os integrandos com seus domínios maximais.
\int x \operatorname{sen}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x\,\operatorname{sen}(x)\,dx
usando a técnica de integração por partes. A fórmula básica que vamos usar é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Precisamos escolher u e dv de modo que as derivadas e integrais fiquem simples. Tomamos
u = x, \quad dv = \operatorname{sen}(x)\,dx.
Dessas escolhas vêm
du = dx, \quad v = \int \operatorname{sen}(x)\,dx = -\cos(x).

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de partes:
\int x\,\operatorname{sen}(x)\,dx = u\,v - \int v\,du = x\cdot\bigl(-\cos(x)\bigr) - \int \bigl(-\cos(x)\bigr)\,dx.
Isto é,
\int x\,\operatorname{sen}(x)\,dx = -x\,\cos(x) + \int \cos(x)\,dx.

Passo 4

A integral remanescente é imediata, pois
\int \cos(x)\,dx = \operatorname{sen}(x).
Logo obtemos
\int x\,\operatorname{sen}(x)\,dx = -x\,\cos(x) + \operatorname{sen}(x) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

As funções x, \operatorname{sen}(x) e \cos(x) estão todas definidas em \mathbb{R}, então o domínio maximal da antiderivada é \mathbb{R}.

Resposta

\int x\,\operatorname{sen}(x)\,dx = -x\,\cos(x) + \operatorname{sen}(x) + C.

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