Exercício 5.11 Calcule utilizando a técnica de mudança de variável (substituição), sendo os integrandos com seus domínios maximais.
\int \operatorname{sen}(2 x+7) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \operatorname{sen}(2x+7)\,dx
usando substituição. Note que a função \operatorname{sen}(2x+7) está definida para todo x\in\mathbb{R}, logo o domínio maximal é \mathbb{R}.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
u = 2x + 7.
Diferenciando, obtemos
du = 2\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int \operatorname{sen}(2x+7)\,dx = \int \operatorname{sen}(u)\,\frac{du}{2} = \frac12 \int \operatorname{sen}(u)\,du.

Passo 4

Sabemos que
\int \operatorname{sen}(u)\,du = -\cos(u) + C.
Então
\frac12 \int \operatorname{sen}(u)\,du = \frac12\bigl(-\cos(u)\bigr) + C = -\frac12\cos(u) + C.

Passo 5

Voltando à variável x (isto é, u=2x+7), a primitiva é
-\tfrac12\cos(2x+7) + C,
com domínio maximal \mathbb{R}.

Resposta

-\frac12\cos(2x+7) + C

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