Exercício 5.13 Calcule utilizando a técnica de integração por partes, sendo os integrandos com seus domínios maximais.
\int x^{2} e^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral indefinida \displaystyle \int x^{2}e^{x}\,dx usando a técnica de integração por partes. A fórmula básica é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
O integrando x^{2}e^{x} está bem definido para todo x\in\mathbb{R}, logo seu domínio maximal é \mathbb{R}.

Passo 2

Escolhemos
u = x^{2}, \quad dv = e^{x}\,dx.
Então
du = 2x\,dx, \quad v = \int e^{x}\,dx = e^{x}.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int x^{2}e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - \int e^{x}\cdot 2x\,dx.
Ou seja,
\int x^{2}e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - 2\int x e^{x}\,dx.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int x e^{x}\,dx usamos outra vez integração por partes. Tomamos
u = x, \quad dv = e^{x}\,dx,
logo
du = dx, \quad v = e^{x}.

Passo 5

Aplicando a fórmula neste segundo caso:
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x}.
Multiplicando por 2 (conforme apareceu em

Passo 6

2\int x e^{x}\,dx = 2\bigl(x e^{x} - e^{x}\bigr) = 2x e^{x} - 2e^{x}.

Passo 7

Substituindo de volta em

Passo 8

\int x^{2}e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - \bigl(2x e^{x} - 2e^{x}\bigr) = x^{2}e^{x} - 2x e^{x} + 2e^{x}.
Agrupando fatores comuns:
\int x^{2}e^{x}\,dx = e^{x}\bigl(x^{2} - 2x + 2\bigr) + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\int x^{2}e^{x}\,dx = e^{x}\bigl(x^{2} - 2x + 2\bigr) + C, \quad x\in\mathbb{R}.

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