Exercício 5.13 Calcule utilizando a técnica de integração por partes, sendo os integrandos com seus domínios maximais.
\int x e^{-x} \mathrm{~d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x e^{-x}\,\mathrm{d}x
usando integração por partes. O conteúdo aqui é a fórmula
\int u\,\mathrm{d}v = u\,v - \int v\,\mathrm{d}u
e o integrando x e^{-x} está definido para todo x\in\mathbb{R}, de modo que o domínio maximal é \mathbb{R}.

Passo 2

Escolhemos
u = x,\quad \mathrm{d}v = e^{-x}\,\mathrm{d}x.
Assim teremos que calcular \mathrm{d}u e v.

Passo 3

Derivando u e integrando \mathrm{d}v obtemos
\mathrm{d}u = \mathrm{d}x, \qquad v = \int e^{-x}\,\mathrm{d}x = -e^{-x}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int x e^{-x}\,\mathrm{d}x = u\,v - \int v\,\mathrm{d}u = x\bigl(-e^{-x}\bigr) - \int \bigl(-e^{-x}\bigr)\,\mathrm{d}x = -x e^{-x} + \int e^{-x}\,\mathrm{d}x.
Agora
\int e^{-x}\,\mathrm{d}x = -e^{-x},
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\int x e^{-x}\,\mathrm{d}x = -x e^{-x} - e^{-x} + C = -e^{-x}\,(x+1) + C.

Resposta

-e^{-x}(x+1) + C

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