Exercício 13. Calcule os valores de m e n para que o plano pi1:(2 m-1) x-2 y+n z-3=0 seja paralelo ao plano pi2: 4 x+4 y-z=0

Passo 1

O enunciado dá dois planos
pi1:(2m-1)x-2y+nz-3=0 e pi2:4x+4y-z=0
e pede m e n de modo que pi1 seja paralelo a pi2.
Esse conteúdo envolve vetores normais de planos: dois planos são paralelos se e somente se seus vetores normais são colineares.

Passo 2

O vetor normal de pi1 é
n1 = (2m-1,,-2,;n)
e o de pi2 é
n2 = (4,;4,;-1)
Para que n1 seja colinear a n2, deve existir kneq0 tal que
(2m-1,,-2,;n) = k,(4,;4,;-1)

Passo 3

Igualando componente a componente, obtemos o sistema
2m-1 = 4k, -2 = 4k, n = -,k
Da segunda equação vem
4k = -2 Rightarrow k = -tfrac12
Substituindo em 2m-1=4k
2m - 1 = 4l(-tfrac12r) = -2 Rightarrow 2m = -1 Rightarrow m = -tfrac12
E em n = -k
n = -l(-tfrac12r) = tfrac12

Resposta

m = -tfrac12, n = tfrac12

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