Em cada item abaixo, verifique que mathbbA é um subespaço afim do espaço vetorial mathscrP3, paralelo ao subespaço vetorial W indicado:
A & =f(x) in mathscrP3: f(3)=1, W & =f(x) in mathscrP3: f(3)=0

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial mathscrP3 (polinômios de grau <=3) e as seguintes partes:
W=finmathscrP3:f(3)=0 e
A=finmathscrP3:f(3)=1.
O objetivo é mostrar que A é um subespaço afim de mathscrP3 cujo “diretor” é o subespaço vetorial W, isto é, que A é um cosse de W.

Passo 2

Primeiro vemos que W é subespaço de mathscrP3. De fato:
1. O polinômio zero satisfaz ;0(3)=0, logo 0inW.
2. Se u,vinW então u(3)=0 e v(3)=0, logo (u+v)(3)=u(3)+v(3)=0, e assim u+vinW.
3. Para qualquer escalar lambda e uinW, (lambda u)(3)=lambda,u(3)=0, então lambda uinW.

Passo 3

Escolhemos um polinômio base f0inA. Por exemplo,
f0(x)=1,
pois f0(3)=1.

Passo 4

Mostramos que A=f0+W. Seja gin f0+W. Então existem winW tais que g=f0+w, e daí
g(3)=f0(3)+w(3)=1+0=1,
logo ginA. Reciprocamente, se ginA então g(3)=1=f0(3), e definindo w=g-f0 temos w(3)=g(3)-f0(3)=0, ou seja, winW e g=f0+w.

Passo 5

Concluímos que A é um subespaço afim (cosse) de mathscrP3 paralelo a W, com representante f0(x)=1.

Resposta

A=f0+W, onde f0(x)=1, mostrando que A é um subespaço afim de direção W.

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