Exercício 14. Um instrumento automático testa amostras de ar para um poluente raro, com probabilidade de detecção de
em qualquer amostra. Qual a probabilidade de que o primeiro resultado positivo ocorra na
amostra?
Passo 1
O enunciado pergunta qual a probabilidade de que o primeiro resultado positivo ocorra exatamente na
amostra. As informações fornecidas são:
- A probabilidade de detecção (sucesso) em qualquer amostra é
. - As amostras são testadas sequencialmente e cada teste é independente (ou seja, o resultado de uma amostra não afeta o resultado das outras).
Portanto, precisamos encontrar a probabilidade de que as primeirasamostras sejam negativas e a seja positiva.
Passo 2
Idea principal (sem resolver ainda): para que o primeiro positivo ocorra na
amostra é necessário que:
- ocorram
falhas (negativos) seguidas por 1 sucesso (positivo) na tentativa.
Como os testes são independentes e a probabilidade de sucesso em cada tentativa é, a probabilidade de falha em cada tentativa é . A probabilidade do evento “19 falhas e depois 1 sucesso” é o produto das probabilidades individuais, ou seja,
Essa é a fórmula clássica da distribuição geométrica (versão que dá a probabilidade do primeiro sucesso ocorrer na
-ésima tentativa): para o primeiro sucesso em
,
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso
e
. Substituímos:
Simplificando o fator
:
logo a expressão fica
Passo 4
Agora vamos calcular numericamente
de um jeito que dê para fazer à mão sem calculadora: usamos a expansão em potências de
(binomial/inclusão de termos) ou multiplicações sucessivas. Uma forma limpa para obter boa precisão é usar a série binomial finita (que é exata aqui):
Com
obtemos os termos iniciais maiores e os posteriores muito pequenos. Calculamos os primeiros termos relevantes:
Calculando os coeficientes:
Então os primeiros termos são:
Compute cada um:
Somando os termos considerados:
e incluindo o próximo termo positivo (
) melhora a precisão um pouco:
Somando esse termo:
subtraindo o próximo termo seguinte (pequeno) chegamos perto de
Observação: a multiplicação sucessiva de
por si mesma 19 vezes dá o mesmo resultado; a expansão acima mostra como obter esse número manualmente mantendo precisão controlada.
Passo 5
Multiplicamos pelo
para obter a probabilidade pedida:
Arredondando de forma prática (por exemplo 4 casas decimais) obtemos
. Essa é a probabilidade de que o primeiro resultado positivo ocorra justamente na
amostra — ou seja, cerca de
.