Exercício 14. Um instrumento automático testa amostras de ar para um poluente raro, com probabilidade de detecção de p=0.02 em qualquer amostra. Qual a probabilidade de que o primeiro resultado positivo ocorra na 20^{\underline{\mathrm{a}}} amostra?

Passo 1

O enunciado pergunta qual a probabilidade de que o primeiro resultado positivo ocorra exatamente na 20^{\underline{\mathrm{a}}} amostra. As informações fornecidas são:
  • A probabilidade de detecção (sucesso) em qualquer amostra é \;p=0,02\;.
  • As amostras são testadas sequencialmente e cada teste é independente (ou seja, o resultado de uma amostra não afeta o resultado das outras).
    Portanto, precisamos encontrar a probabilidade de que as primeiras 19 amostras sejam negativas e a 20^{\underline{\mathrm{a}}} seja positiva.

Passo 2

Idea principal (sem resolver ainda): para que o primeiro positivo ocorra na 20^{\underline{\mathrm{a}}} amostra é necessário que:
  • ocorram 19 falhas (negativos) seguidas por 1 sucesso (positivo) na 20^{\underline{\mathrm{a}}} tentativa.
    Como os testes são independentes e a probabilidade de sucesso em cada tentativa é p, a probabilidade de falha em cada tentativa é 1-p. A probabilidade do evento “19 falhas e depois 1 sucesso” é o produto das probabilidades individuais, ou seja,
(1-p)^{19}\cdot p.
Essa é a fórmula clássica da distribuição geométrica (versão que dá a probabilidade do primeiro sucesso ocorrer na k-ésima tentativa): para o primeiro sucesso em k,
\Pr(\text{primeiro sucesso em }k)=(1-p)^{k-1}p.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso k=20 e p=0,02. Substituímos:
\Pr(\text{primeiro positivo na }20^{\underline{\mathrm{a}}})=(1-0,02)^{19}\cdot 0,02.
Simplificando o fator 1-0,02:
(1-0,02)=0,98,
logo a expressão fica
0,98^{19}\cdot 0,02.

Passo 4

Agora vamos calcular numericamente 0,98^{19} de um jeito que dê para fazer à mão sem calculadora: usamos a expansão em potências de (1-p) (binomial/inclusão de termos) ou multiplicações sucessivas. Uma forma limpa para obter boa precisão é usar a série binomial finita (que é exata aqui):
(1-p)^{19} = \sum_{j=0}^{19} \binom{19}{j}(-p)^j.
Com p=0,02 obtemos os termos iniciais maiores e os posteriores muito pequenos. Calculamos os primeiros termos relevantes:
\begin{aligned} (1-0,02)^{19} &= 1 - 19\cdot 0,02 + \binom{19}{2}\cdot 0,02^{2} - \binom{19}{3}\cdot 0,02^{3} + \cdots \\\ &= 1 - 0,38 + \binom{19}{2}\cdot 0,0004 - \binom{19}{3}\cdot 0,000008 + \cdots \end{aligned}
Calculando os coeficientes:
\binom{19}{2}=\frac{19\cdot18}{2}=171,\qquad \binom{19}{3}=\frac{19\cdot18\cdot17}{6}=969.
Então os primeiros termos são:
1 - 0,38 + 171\cdot 0,0004 - 969\cdot 0,000008 + \text{(termos muito pequenos)}.
Compute cada um:
171\cdot 0,0004 = 0,0684,
969\cdot 0,000008 = 0,007752.
Somando os termos considerados:
(1-0,02)^{19} \approx 1 - 0,38 + 0,0684 - 0,007752 = 0,681 (aproximadamente),
e incluindo o próximo termo positivo ( \binom{19}{4}0,02^4) melhora a precisão um pouco:
\binom{19}{4}=3876,\qquad 0,02^{4}=0,00000016,
3876\cdot 0,00000016 = 0,00062016.
Somando esse termo:
0,681 + 0,00062016 \approx 0,68162016,
subtraindo o próximo termo seguinte (pequeno) chegamos perto de
(1-0,02)^{19} \approx 0,68123112\quad\text{(valor com boa precisão usando vários termos)}.ãá
Observação: a multiplicação sucessiva de 0,98 por si mesma 19 vezes dá o mesmo resultado; a expansão acima mostra como obter esse número manualmente mantendo precisão controlada.

Passo 5

Multiplicamos pelo p=0,02 para obter a probabilidade pedida:
\Pr = 0,98^{19}\cdot 0,02 \approx 0,68123112\cdot 0,02 \approx 0,0136246.
Arredondando de forma prática (por exemplo 4 casas decimais) obtemos \approx 0,0136. Essa é a probabilidade de que o primeiro resultado positivo ocorra justamente na 20^{\underline{\mathrm{a}}} amostra — ou seja, cerca de 1,36\%.

Resposta

0,98^{19}\cdot 0,02 \approx 0,0136246

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