Exercício 13. Classifique as funções abaixo em injetora, sobrejetora e bijetora. Justifique:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para verificar se ela é injetora, sobrejetora e bijetora. Vamos usar as definições:
– é injetora se
implica
.
– é sobrejetora se, para todo
, existe
com
.
– é bijetora se for simultaneamente injetora e sobrejetora.
–
–
–
Passo 2
Verificando injetividade: suponha
. Então
Isso só garante que
ou
. Por exemplo,
mas
. Logo há
com
, e
não é injetora.
Passo 3
Verificando sobrejetividade: seja um
. Basta escolher
pois
Assim, para todo
existe
tal que
, e
é sobrejetora.
Passo 4
Como
não é injetora mas é sobrejetora, conclui-se que ela não pode ser bijetora (que exigiria as duas propriedades).