Exercício 13. Classifique as funções abaixo em injetora, sobrejetora e bijetora. Justifique:

Passo 1

O enunciado dá a função
fcolon ZtoN, f(x)=|x|
e pede para verificar se ela é injetora, sobrejetora e bijetora. Vamos usar as definições:
f é injetora se f(a)=f(b) implica a=b.
f é sobrejetora se, para todo yinN, existe xinZ com f(x)=y.
f é bijetora se for simultaneamente injetora e sobrejetora.

Passo 2

Verificando injetividade: suponha f(a)=f(b). Então
|a|=|b|
Isso só garante que a=b ou a=-b. Por exemplo,
f(1)=|1|=1, f(-1)=|-1|=1,
mas 1neq -1. Logo há aneq b com f(a)=f(b), e f não é injetora.

Passo 3

Verificando sobrejetividade: seja um yinN. Basta escolher
x=yinZ,
pois
f(x)=|y|=y
Assim, para todo yinN existe xinZ tal que f(x)=y, e f é sobrejetora.

Passo 4

Como f não é injetora mas é sobrejetora, conclui-se que ela não pode ser bijetora (que exigiria as duas propriedades).

Resposta

f não é injetora; f é sobrejetora; portanto, f não é bijetora.

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