Exercício 13. Classifique as funções abaixo em injetora, sobrejetora e bijetora. Justifique:
Passo 1
O enunciado define a função
onde
. O objetivo é verificar se
é injetora, sobrejetora ou bijetora, aplicando as definições de cada propriedade.
Passo 2
Para testar injetividade, suponha que
isto é,
Como
, podemos tirar a raiz quadrada sem ambiguidade e obter
Logo
é injetora, pois não leva dois argumentos distintos ao mesmo valor.
Passo 3
Para testar sobrejetividade, tomemos um valor arbitrário
e tentemos resolver
A solução formal é
, mas só aceitamos
.
- Se
, não existe tal que . - Se
, então existe exatamente um .
Portanto não existem preimagens para valores negativos de, e não é sobrejetora.
Passo 4
Como
é injetora mas não é sobrejetora, concluímos que
também não pode ser bijetora (pois bijeção exige as duas propriedades simultaneamente).
Resposta
A função
é injetora, não é sobrejetora e, consequentemente, não é bijetora.