Exercício 13. Classifique as funções abaixo em injetora, sobrejetora e bijetora. Justifique:

Passo 1

O enunciado define a função
fcolon R+toR, f(x)=x^2,
onde R+=[0,infty). O objetivo é verificar se f é injetora, sobrejetora ou bijetora, aplicando as definições de cada propriedade.

Passo 2

Para testar injetividade, suponha que
f(x1)=f(x2),
isto é,
x1^2=x2^2
Como x1,x2>=0, podemos tirar a raiz quadrada sem ambiguidade e obter
x1=x2
Logo f é injetora, pois não leva dois argumentos distintos ao mesmo valor.

Passo 3

Para testar sobrejetividade, tomemos um valor arbitrário yinR e tentemos resolver
x^2=y, xin[0,infty)
A solução formal é x=pmraizy, mas só aceitamos x>=0.
  • Se y<0, não existe xin[0,infty) tal que x^2=y.
  • Se y>=0, então existe exatamente um x=raizy.
    Portanto não existem preimagens para valores negativos de y, e f não é sobrejetora.

Passo 4

Como f é injetora mas não é sobrejetora, concluímos que f também não pode ser bijetora (pois bijeção exige as duas propriedades simultaneamente).

Resposta

A função f é injetora, não é sobrejetora e, consequentemente, não é bijetora.

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