Exercício 13. Classifique as funções abaixo em injetora, sobrejetora e bijetora. Justifique:
Passo 1
O enunciado pede para classificar a função
em injetora, sobrejetora e bijetora. Para isso, vamos usar as definições:
– é injetora se, sempre que
, então
.
– é sobrejetora se, para todo
, existe
tal que
.
– é bijetora se for ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.
–
–
–
Passo 2
Mostrando que
é injetora. Suponha que
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados, obtemos
Logo,
é injetora.
Passo 3
Mostrando que
é sobrejetora. Seja
um valor arbitrário no contradomínio. Queremos encontrar
tal que
Basta escolher
pois
está bem definido em
sempre que
. Assim,
e
é sobrejetora.
Passo 4
Como
é simultaneamente injetora e sobrejetora, concluímos que
é bijetora.
Resposta
A função
é injetora, sobrejetora e, portanto, bijetora.