Exercício 13. Classifique as funções abaixo em injetora, sobrejetora e bijetora. Justifique:

Passo 1

O enunciado pede para classificar a função
fcolon Rlongrightarrow R+^*, f(x)=e^x
em injetora, sobrejetora e bijetora. Para isso, vamos usar as definições:
f é injetora se, sempre que f(x1)=f(x2), então x1=x2.
f é sobrejetora se, para todo yinR+^*, existe xinR tal que f(x)=y.
f é bijetora se for ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.

Passo 2

Mostrando que f é injetora. Suponha que
f(x1)=f(x2)Longrightarrow e^x1=e^x2
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados, obtemos
lnl(e^x1r)=lnl(e^x2r)Longrightarrow x1=x2
Logo, f é injetora.

Passo 3

Mostrando que f é sobrejetora. Seja yinR+^* um valor arbitrário no contradomínio. Queremos encontrar xinR tal que
e^x=y
Basta escolher
x=ln(y),
pois ln(y) está bem definido em R sempre que y>0. Assim, f(ln(y))=y e f é sobrejetora.

Passo 4

Como f é simultaneamente injetora e sobrejetora, concluímos que f é bijetora.

Resposta

A função f(x)=e^x é injetora, sobrejetora e, portanto, bijetora.

Exercícios relacionados