Exercício 13: Considere um dado equilibrado. Para cada uma das situações abaixo, obtenha a função de probabilidade da variável de interesse e identifique o modelo, se possível.
O dados é lançado 3 vezes, mas a face ocorrida num lançamento é "retirada"para o próximo sorteio. Estamos interessados no número de faces ímpares obtidas.

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que foi dado):
  • Temos um dado equilibrado com faces 1,2,3,4,5,6.
  • O dado é lançado 3 vezes, mas a face obtida num lançamento é “retirada” para o próximo sorteio (isto é, não se repete: amostragem sem reposição).
  • Variável de interesse: X = número de faces ímpares obtidas nos três lançamentos.
  • O que pedir: (a) obter a função de probabilidade de X (isto é, P(X=k) para todos os k possíveis); (b) identificar o modelo, se for possível.
  • Informações relevantes extraídas do enunciado: há 3 faces ímpares ( 1,3,5) e 3 faces pares ( 2,4,6). Os três lançamentos são feitos sem reposição das faces já obtidas.

Passo 2

Definindo claramente a variável e o espaço de possíveis valores:
  • A variável aleatória é X = número de ímpares entre as 3 faces sorteadas.
  • Possíveis valores de X: \{0,1,2,3\} (não dá para ter mais de 3 ímpares porque só há 3 sorteios).
  • Vamos contar probabilidades por contagem combinatória: para cada k fixo contamos de quantas maneiras podemos obter exatamente k ímpares e dividir pelo total de maneiras possíveis de obter 3 faces distintas.

Passo 3

Qual é o total de resultados possíveis (denominador)?
  • Como tiramos 3 faces distintas das 6, considerando a ordem dos lançamentos, o número de sequências possíveis é
6\cdot5\cdot4 = 120.
  • Alternativamente, se desprezarmos a ordem, o número de subconjuntos (escolhas de 3 faces entre 6) é
\binom{6}{3} = 20.
Vou usar a forma combinatória que despreza a ordem porque a variável X depende só do conjunto de faces sorteadas (não da ordem). Ambas as abordagens dão o mesmo resultado no final (vou mostrar como isso acontece).

Passo 4

Contagem dos casos favoráveis para um k fixo (ideia da fórmula):
  • \;3 faces ímpares disponíveis e \;3 faces pares disponíveis.
  • Para obter exatamente k ímpares em uma amostra de 3 basta:
    • escolher k ímpares dentre as 3: \binom{3}{k},
    • escolher 3-k pares dentre as 3: \binom{3}{3-k}.
  • O número de subconjuntos (sem ordem) que têm exatamente k ímpares é
\binom{3}{k}\binom{3}{3-k}.
  • Portanto, usando a abordagem sem ordem, a probabilidade é
P(X=k)=\frac{\binom{3}{k}\binom{3}{3-k}}{\binom{6}{3}},
para k=0,1,2,3. Esta é a forma padrão da distribuição hipergeométrica (mais abaixo explico os parâmetros).

Passo 5

Conferência pela contagem com ordem (mostrando que dá o mesmo):
  • Se considerarmos sequências ordenadas, após escolher os 3 elementos (com \binom{3}{k}\binom{3}{3-k} maneiras) podemos permutá‑los em 3! ordens. Então o número de sequências favoráveis é
\binom{3}{k}\binom{3}{3-k}\cdot 3!.
  • Dividindo pelo total de sequências 6\cdot5\cdot4 = 120 temos
\frac{\binom{3}{k}\binom{3}{3-k}\cdot 3!}{120} = \frac{\binom{3}{k}\binom{3}{3-k}}{\binom{6}{3}},
pois \;3!=6 e 120/6=\binom{6}{3}=20. Assim ambas as contas coincidem — boa checagem.

Passo 6

Apresentando a fórmula geral do modelo (hipergeométrico) e identificando parâmetros:
  • A forma geral da distribuição hipergeométrica é
P(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}},
onde:
  • N = tamanho da população (aqui N=6),
  • K = número de “sucessos” na população (aqui ímpares, K=3),
  • n = tamanho da amostra (aqui n=3),
  • k = número de sucessos observados na amostra.
  • Portanto, X segue uma distribuição hipergeométrica com N=6, K=3, n=3.

Passo 7

Cálculo numérico das probabilidades ponto a ponto:
  • Denominador comum:
\binom{6}{3}=20.
  • Para k=0:
P(X=0)=\frac{\binom{3}{0}\binom{3}{3}}{\binom{6}{3}}=\frac{1\cdot1}{20}=\frac{1}{20}.
  • Para k=1:
P(X=1)=\frac{\binom{3}{1}\binom{3}{2}}{\binom{6}{3}}=\frac{3\cdot3}{20}=\frac{9}{20}.
  • Para k=2:
P(X=2)=\frac{\binom{3}{2}\binom{3}{1}}{\binom{6}{3}}=\frac{3\cdot3}{20}=\frac{9}{20}.
  • Para k=3:
P(X=3)=\frac{\binom{3}{3}\binom{3}{0}}{\binom{6}{3}}=\frac{1\cdot1}{20}=\frac{1}{20}.
  • Verificação rápida: \frac{1}{20}+\frac{9}{20}+\frac{9}{20}+\frac{1}{20}=\frac{20}{20}=1. Beleza — soma 1.

Passo 8

Interpretação final e observações didáticas:
  • O resultado é intuitivo: há pouca chance de zero ou três ímpares ( 1/20 cada), e maior chance de exatamente um ou dois ímpares ( 9/20 cada); é simétrico porque há igualmente 3 ímpares e 3 pares na população.
  • Em provas, reconheça rapidamente o padrão: amostragem sem reposição de um conjunto finito com K sucessos e N-K falhas leva à hipergeométrica; usar a fórmula combinatória acima resolve o problema de forma rápida e segura.

Resposta

P(X=k)=\frac{\binom{3}{k}\binom{3}{3-k}}{\binom{6}{3}},\quad k=0,1,2,3
P(X=0)=\frac{1}{20},\quad P(X=1)=\frac{9}{20},\quad P(X=2)=\frac{9}{20},\quad P(X=3)=\frac{1}{20}
\text{Modelo: }X\sim\text{Hipergométrica}\bigl(N=6,\;K=3,\;n=3\bigr)é

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