Exercício 13: Considere um dado equilibrado. Para cada uma das situações abaixo, obtenha a função de probabilidade da variável de interesse e identifique o modelo, se possível.
O dados é lançado 3 vezes, mas a face ocorrida num lançamento é "retirada"para o próximo sorteio. Estamos interessados no número de faces ímpares obtidas.
O dados é lançado 3 vezes, mas a face ocorrida num lançamento é "retirada"para o próximo sorteio. Estamos interessados no número de faces ímpares obtidas.
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que foi dado):
- Temos um dado equilibrado com faces
. - O dado é lançado 3 vezes, mas a face obtida num lançamento é “retirada” para o próximo sorteio (isto é, não se repete: amostragem sem reposição).
- Variável de interesse:
= número de faces ímpares obtidas nos três lançamentos. - O que pedir: (a) obter a função de probabilidade de
(isto é, para todos os possíveis); (b) identificar o modelo, se for possível. - Informações relevantes extraídas do enunciado: há
faces ímpares ( ) e faces pares ( ). Os três lançamentos são feitos sem reposição das faces já obtidas.
Passo 2
Definindo claramente a variável e o espaço de possíveis valores:
- A variável aleatória é
= número de ímpares entre as faces sorteadas. - Possíveis valores de
: (não dá para ter mais de 3 ímpares porque só há 3 sorteios). - Vamos contar probabilidades por contagem combinatória: para cada
fixo contamos de quantas maneiras podemos obter exatamente ímpares e dividir pelo total de maneiras possíveis de obter 3 faces distintas.
Passo 3
Qual é o total de resultados possíveis (denominador)?
- Como tiramos 3 faces distintas das 6, considerando a ordem dos lançamentos, o número de sequências possíveis é
- Alternativamente, se desprezarmos a ordem, o número de subconjuntos (escolhas de 3 faces entre 6) é
Vou usar a forma combinatória que despreza a ordem porque a variável
depende só do conjunto de faces sorteadas (não da ordem). Ambas as abordagens dão o mesmo resultado no final (vou mostrar como isso acontece).
Passo 4
Contagem dos casos favoráveis para um
fixo (ideia da fórmula):
- Há
faces ímpares disponíveis e faces pares disponíveis. - Para obter exatamente
ímpares em uma amostra de basta: - escolher
ímpares dentre as : , - escolher
pares dentre as : .
- escolher
- O número de subconjuntos (sem ordem) que têm exatamente
ímpares é
- Portanto, usando a abordagem sem ordem, a probabilidade é
para
. Esta é a forma padrão da distribuição hipergeométrica (mais abaixo explico os parâmetros).
Passo 5
Conferência pela contagem com ordem (mostrando que dá o mesmo):
- Se considerarmos sequências ordenadas, após escolher os
elementos (com maneiras) podemos permutá‑los em ordens. Então o número de sequências favoráveis é
- Dividindo pelo total de sequências
temos
pois
e
. Assim ambas as contas coincidem — boa checagem.
Passo 6
Apresentando a fórmula geral do modelo (hipergeométrico) e identificando parâmetros:
- A forma geral da distribuição hipergeométrica é
onde:
-
= tamanho da população (aqui ), -
= número de “sucessos” na população (aqui ímpares, ), -
= tamanho da amostra (aqui ), -
= número de sucessos observados na amostra. - Portanto,
segue uma distribuição hipergeométrica com , , .
Passo 7
Cálculo numérico das probabilidades ponto a ponto:
- Denominador comum:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Verificação rápida:
. Beleza — soma 1.
Passo 8
Interpretação final e observações didáticas:
- O resultado é intuitivo: há pouca chance de zero ou três ímpares (
cada), e maior chance de exatamente um ou dois ímpares ( cada); é simétrico porque há igualmente ímpares e pares na população. - Em provas, reconheça rapidamente o padrão: amostragem sem reposição de um conjunto finito com
sucessos e falhas leva à hipergeométrica; usar a fórmula combinatória acima resolve o problema de forma rápida e segura.