Exercício 13.4. Resolva usando coeficientes a determinar:
y^(4)+2 y^prime prime prime+2 y^prime prime=3 e^x+2 x e^-x+e^-x sin x

Passo 1

Temos a EDO de 4ª ordem
y^(4) + 2y''' + 2y'' = 3e^x + 2x e^-x + e^-xsin x
Trata-se de uma equação linear com coeficientes constantes. Vamos achar primeiro a solução homogênea yh (resolvendo a equação característica) e depois uma solução particular yp por coeficientes a determinar. A solução geral é y=yh+yp.

Passo 2

A equação característica é
r^4 + 2r^3 + 2r^2 = r^2(r^2 + 2r + 2) = 0
Logo as raízes são r=0 (multiplicidade 2) e r=-1pm i. Assim a solução homogênea é
yh = C1 + C2 x + e^-xigl(C3,cos x + C4,sin xr) 

Passo 3

Para o termo 3e^x propomos
yp1 = A e^x
Então
L[yp1] = yp1^(4) + 2yp1''' + 2yp1'' = A e^x + 2A e^x + 2A e^x = 5A e^x
Impondo 5A e^x = 3e^x A = 3/5.

Passo 4

Para o termo 2x e^-x propomos
yp2 = (B x + C)e^-x
Cálculos de L[yp2] mostram
L[yp2] = (B x + C - 2B)e^-x
Queremos (B x + C - 2B)e^-x = 2x e^-x, logo comparando coeficientes: B = 2 e C - 2B = 0 levam a C=4.

Passo 5

Para o termo e^-xsin x usamos o fato de que
L = D^2,(D^2 + 2D + 2),
e que u = e^-x(Ecos x + Fsin x) satisfaz (D^2+2D+2)[u]=0. Então definimos
yp3 = x,u = x e^-x(Ecos x + Fsin x)
Calcula-se
z = (D^2+2D+2)[yp3] = 2(u' + u) = 2e^-x(Fcos x - Esin x),
L[yp3] = D^2[z] = 4e^-x(Ecos x + Fsin x)
Para ter 4Ecos x + 4Fsin x = 1cdotsin x precisamos de E = 0 e F = 1/4. Assim
yp3 = x4e^-xsin x

Passo 6

Somando as partes particulares:
yp = 35e^x + (2x+4)e^-x + x4e^-xsin x
A solução geral é
y = yh + yp = C1 + C2 x + e^-x(C3cos x + C4sin x) + 35e^x + (2x+4)e^-x + x4e^-xsin x

Passo 7

Não há passo extra além de escrever a resposta final acima como a solução geral da EDO.

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}x+e^{-x}\bigl(C_{3}\cos x+C_{4}\sin x\bigr)+\frac{3}{5}e{x}+(2x+4)e{-x}+\frac{x}{4}e^{-x}\sin x

Exercícios relacionados