Exercício 13.4. Resolva usando coeficientes a determinar:
Passo 1
Temos a EDO de 4ª ordem
Trata-se de uma equação linear com coeficientes constantes. Vamos achar primeiro a solução homogênea
(resolvendo a equação característica) e depois uma solução particular
por coeficientes a determinar. A solução geral é
.
Passo 2
A equação característica é
Logo as raízes são
(multiplicidade 2) e
. Assim a solução homogênea é
Passo 3
Para o termo
propomos
Então
Impondo
dá
.
Passo 4
Para o termo
propomos
Cálculos de
mostram
Queremos
, logo comparando coeficientes:
e
levam a
.
Passo 5
Para o termo
usamos o fato de que
e que
satisfaz
. Então definimos
Calcula-se
Para ter
precisamos de
e
. Assim
Passo 6
Somando as partes particulares:
A solução geral é
Passo 7
Não há passo extra além de escrever a resposta final acima como a solução geral da EDO.
Resposta
y(x)=C_{1}+C_{2}x+e^{-x}\bigl(C_{3}\cos x+C_{4}\sin x\bigr)+\frac{3}{5}e{x}+(2x+4)e{-x}+\frac{x}{4}e^{-x}\sin x