Exercício 13. Considere o experimento em que dois dados de 6 lados honestos são lançados. Encontre a probabilidade de que
os resultados dos dois dados sejam iguais.

Passo 1

O enunciado diz: dois dados honestos de 6 lados são lançados. Pede-se a probabilidade de que os resultados dos dois dados sejam iguais.
Informações dadas:
  • Cada dado tem os resultados possíveis \{1,2,3,4,5,6\}.
  • Os dados são honestos (cada face é igualmente provável).
  • Os lançamentos são independentes (o resultado de um não afeta o outro).
O que se pede:
  • Calcular P(\text{"os dois resultados são iguais"})ã.

Passo 2

Vamos construir o espaço amostral (todos os resultados possíveis) considerando os dois lançamentos como um par ordenado (x,y), onde x é o resultado do primeiro dado e y do segundo.
Como o primeiro dado tem 6 possibilidades e o segundo também tem 6, o número total de resultados possíveis é
|\Omega|=6\cdot 6=36.
Explicação: cada face do primeiro dado pode aparecer junto com cada face do segundo; por isso multiplicamos as quantidades.

Passo 3

Agora identificamos os eventos favoráveis — ou seja, os pares em que os dois resultados são iguais.
Esses pares são
(1,1),\\ (2,2),\\ (3,3),\\ (4,4),\\ (5,5),\\ (6,6).
Há exatamente 6 resultados favoráveis. Então o número de resultados favoráveis é
|A|=6.

Passo 4

Usando a definição clássica de probabilidade para eventos em um espaço com resultados igualmente prováveis:
P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{6}{36}.
Agora simplificamos a fração dividindo numerador e denominador por 6:
\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.

Passo 5

Uma forma alternativa, talvez mais direta na prova: olhe para o primeiro dado; ele dá algum número qualquer (qualquer um com probabilidade 1). Para que os dois sejam iguais, o segundo dado precisa mostrar exatamente esse mesmo número; a probabilidade de isso acontecer é \dfrac{1}{6}. Logo a probabilidade pedida é \dfrac{1}{6}.
Também se pode escrever como soma de probabilidades:
P=\sum_{k=1}^{6} P(\text{primeiro}=k\\ \text{e}\\ \text{segundo}=k) =6\cdot\left(\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\right)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.

Passo 6

Interpretação e generalização rápida para fixar a ideia:
  • Resultado final: a chance de dar o mesmo número nos dois dados é baixa, \dfrac{1}{6}.
  • Regra geral: para dois dados regulares com n faces, a probabilidade de igualdade é \dfrac{1}{n} (porque há n pares iguais em n^2 totais).
Força aí — sabendo construir o espaço amostral e contar os casos favoráveis você resolve rápido essa clássica questão de prova!

Resposta

\dfrac{1}{6}\approx0{,}1667

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