Exercício 13. Considere o experimento em que dois dados de 6 lados honestos são lançados. Encontre a probabilidade de que
os resultados dos dois dados sejam iguais.
os resultados dos dois dados sejam iguais.
Passo 1
O enunciado diz: dois dados honestos de 6 lados são lançados. Pede-se a probabilidade de que os resultados dos dois dados sejam iguais.
Informações dadas:
- Cada dado tem os resultados possíveis
. - Os dados são honestos (cada face é igualmente provável).
- Os lançamentos são independentes (o resultado de um não afeta o outro).
O que se pede:
- Calcular
.
Passo 2
Vamos construir o espaço amostral (todos os resultados possíveis) considerando os dois lançamentos como um par ordenado
, onde
é o resultado do primeiro dado e
do segundo.
Como o primeiro dado tem 6 possibilidades e o segundo também tem 6, o número total de resultados possíveis é
Explicação: cada face do primeiro dado pode aparecer junto com cada face do segundo; por isso multiplicamos as quantidades.
Passo 3
Agora identificamos os eventos favoráveis — ou seja, os pares em que os dois resultados são iguais.
Esses pares são
Há exatamente 6 resultados favoráveis. Então o número de resultados favoráveis é
Passo 4
Usando a definição clássica de probabilidade para eventos em um espaço com resultados igualmente prováveis:
Agora simplificamos a fração dividindo numerador e denominador por
:
Passo 5
Uma forma alternativa, talvez mais direta na prova: olhe para o primeiro dado; ele dá algum número qualquer (qualquer um com probabilidade
). Para que os dois sejam iguais, o segundo dado precisa mostrar exatamente esse mesmo número; a probabilidade de isso acontecer é
. Logo a probabilidade pedida é
.
Também se pode escrever como soma de probabilidades:
Passo 6
Interpretação e generalização rápida para fixar a ideia:
- Resultado final: a chance de dar o mesmo número nos dois dados é baixa,
. - Regra geral: para dois dados regulares com
faces, a probabilidade de igualdade é (porque há pares iguais em totais).
Força aí — sabendo construir o espaço amostral e contar os casos favoráveis você resolve rápido essa clássica questão de prova!