Exercício 13. Considere o experimento em que dois dados de 6 lados honestos são lançados. Encontre a probabilidade de que
os resultados dos dois dados sejam distintos e a soma seja 8 .

Passo 1

O enunciado diz: dois dados justos de 6 faces são lançados. Pede-se a probabilidade de que os resultados dos dois dados sejam distintos e que a soma dos pontos seja 8.
Informações dadas:
  • Cada dado tem faces numeradas de 1 a 6.
  • Os dados são “honestos” (justos), logo cada face de cada dado tem a mesma probabilidade.
  • Os lançamentos são independentes (o resultado de um dado não afeta o outro).
  • Pedido: P(\text{resultados distintos e soma }=8).

Passo 2

Modelagem e ideia básica de contagem.
  • Representa-se cada resultado possível por um par ordenado (i,j), onde i é o valor do primeiro dado e j o valor do segundo dado, com i,j\in\{1,2,3,4,5,6\}.
  • O espaço amostral tem todos os pares ordenados possíveis. Como há 6 opções para o primeiro dado e 6 para o segundo, o número total de resultados possíveis é
6\times6=36.
  • Por serem dados justos e independentes, todos os 36 resultados ordenados têm a mesma probabilidade, igual a \dfrac{1}{36}. Isso facilita: basta contar quantos resultados favoráveis existem e dividir por 36.
Pequena aula: quando os resultados são representados por pares ordenados, (2,6) é diferente de (6,2). Isso importa porque cada par corresponde a um resultado distinto do experimento “lançar dois dados”.

Passo 3

Encontrar todos os pares (i,j) tais que i+j=8.
Vamos listar pares ordenados com soma 8:
(2,6),\\ (3,5),\\ (4,4),\\ (5,3),\\ (6,2).
São 5 pares ordenados no total com soma 8.

Passo 4

Aplicar a condição “resultados distintos”: eliminar os pares em que os dois números são iguais.
Dos pares listados, o único com números iguais é (4,4). Como queremos resultados distintos, esse par não é favorável.
Logo, o número de resultados favoráveis é
5-1=4,
isto é os pares (2,6),\\ (3,5),\\ (5,3),\\ (6,2).

Passo 5

Calcular a probabilidade dividindo o número de favoráveis pelo número total de resultados igualmente prováveis:
P=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}.

Resposta

\dfrac{1}{9}

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