Exercício 14. Considere o experimento em que dois dados honestos de 6 lados são lançados e defina os eventos
o resultado do primeiro lançamento é menor que o do segundo
Encontre
.
Encontre
Passo 1
Vou deixar muito claro o que o problema pede e o que ele nos dá.
- O experimento: lançar dois dados honestos de 6 lados (cada dado tem faces numeradas de
a ). - Cada lançamento tem 6 possíveis resultados e os lançamentos são independentes, então os resultados do par de lançamentos podem ser descritos por pares ordenados
, onde é o resultado do primeiro dado e do segundo. - O evento pedido é
o resultado do primeiro lançamento é menor que o do segundo , ou seja todos os pares com . - O que se pede: encontrar
, a probabilidade do evento .
Passo 2
Relembrando a definição básica de probabilidade que vou usar (aula rápida): se todos os resultados elementares são igualmente prováveis, então a probabilidade de um evento é
Aqui os resultados possíveis são os pares ordenados
com
e
. Como cada dado tem
faces, o número total de pares ordenados é
Portanto o denominador da fração da probabilidade será
.
Passo 3
Agora contamos os resultados favoráveis: queremos todos os pares
tais que
.
Uma forma sistemática é fixar o valor do primeiro dado
e contar quantos valores de
satisfazem
.
- Se
, então pode ser : possibilidades. - Se
, então pode ser : possibilidades. - Se
, então pode ser : possibilidades. - Se
, então pode ser : possibilidades. - Se
, então pode ser : possibilidade. - Se
, não há : possibilidades.
Somando todas as possibilidades favoráveis:
Em notação compacta:
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula da probabilidade:
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por
:
Passo 5
Verificação alternativa (intuição/simetria): os casos em que
e
são simétricos, portanto têm a mesma quantidade de resultados. Os casos
são
(pares
). Assim dos
totais,
são com
, divididos igualmente entre
e
, o que dá
para
— confirma o resultado anterior.