Exercício 14. Considere o experimento em que dois dados honestos de 6 lados são lançados e defina os eventos E=\{ o resultado do primeiro lançamento é menor que o do segundo \}\
Encontre P(E).

Passo 1

Vou deixar muito claro o que o problema pede e o que ele nos dá.
  • O experimento: lançar dois dados honestos de 6 lados (cada dado tem faces numeradas de 1 a 6).
  • Cada lançamento tem 6 possíveis resultados e os lançamentos são independentes, então os resultados do par de lançamentos podem ser descritos por pares ordenados (i,j), onde i é o resultado do primeiro dado e j do segundo.
  • O evento pedido é E=\{ o resultado do primeiro lançamento é menor que o do segundo \}, ou seja todos os pares (i,j) com i<j.
  • O que se pede: encontrar P(E), a probabilidade do evento E.

Passo 2

Relembrando a definição básica de probabilidade que vou usar (aula rápida): se todos os resultados elementares são igualmente prováveis, então a probabilidade de um evento é
P(E)=\frac{\text{número de resultados favoráveis a }E}{\text{número total de resultados possíveis}}.úáúí
Aqui os resultados possíveis são os pares ordenados (i,j) com i\in\{1,\dots,6\} e j\in\{1,\dots,6\}. Como cada dado tem 6 faces, o número total de pares ordenados é
|S|=6\times6=36.
Portanto o denominador da fração da probabilidade será 36.

Passo 3

Agora contamos os resultados favoráveis: queremos todos os pares (i,j) tais que i<j.
Uma forma sistemática é fixar o valor do primeiro dado i e contar quantos valores de j satisfazem j>i.
  • Se i=1, então j pode ser 2,3,4,5,6: 5 possibilidades.
  • Se i=2, então j pode ser 3,4,5,6: 4 possibilidades.
  • Se i=3, então j pode ser 4,5,6: 3 possibilidades.
  • Se i=4, então j pode ser 5,6: 2 possibilidades.
  • Se i=5, então j pode ser 6: 1 possibilidade.
  • Se i=6, não há j>6: 0 possibilidades.
Somando todas as possibilidades favoráveis:
\text{número favorável} = 5+4+3+2+1+0 = 15.úá
Em notação compacta:
\sum_{i=1}^{6}\#\{j\in\{1,\dots,6\}:j>i\}=\sum_{k=1}^{5}k=15.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da probabilidade:
P(E)=\frac{\text{número favorável}}{\text{total}}=\frac{15}{36}.úá
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 3:
\frac{15}{36}=\frac{5}{12}\approx0{,}4167.

Passo 5

Verificação alternativa (intuição/simetria): os casos em que i<j e i>j são simétricos, portanto têm a mesma quantidade de resultados. Os casos i=j são 6 (pares (1,1),(2,2),\dots,(6,6)). Assim dos 36 totais, 36-6=30 são com i\neq j, divididos igualmente entre i<j e i>j, o que dá 30/2=15 para i<j — confirma o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{5}{12}

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