Q 106 Derive cada uma das funções dadas abaixo:
f(x)=2 sen(x) cos (x)+8 tg(x) sec (x);

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos derivar
f(x)=2sin(x)cos(x)+8tan(x)sec(x).
O conteúdo é derivada de funções trigonométricas, usando as regras
(sin x)'=cos x, (cos x)'=-sin x, (tan x)'=sec^2x e (sec x)'=sec xtan x, além da regra do produto.

Passo 2

Derivada do primeiro termo 2sin(x)cos(x) pela regra do produto. Seja
u(x)=2sin x e v(x)=cos x.
Então
u'(x)=2cos x, v'(x)=-sin x,
e
l(2sin xcos xr)'=u'v+uv' =2cos xcdotcos x+2sin xcdot(-sin x) =2cos^2x-2sin^2x

Passo 3

Derivada do segundo termo 8tan(x)sec(x) pela regra do produto. Seja
p(x)=8tan x e q(x)=sec x.
Então
p'(x)=8sec^2x, q'(x)=sec xtan x,
e
l(8tan xsec xr)' =p'q+pq' =8sec^2xcdotsec x+8tan xcdotsec xtan x =8sec^3x+8sec^2xtan^2x

Passo 4

Somando as duas derivadas obtidas, chega-se a
f'(x) =(2sin xcos x)'+(8tan xsec x)' =2cos^2x-2sin^2x+8sec^3x+8sec^2xtan^2x

Resposta

f'(x)=2cos^2x-2sin^2x+8sec^3x+8sec^2xtan^2x.

Exercícios relacionados