Exercício 13. (D. 3.5, ex.3.16) Ache um exemplo de função f: R C que seja L^1(R) de classe C^infty, ou seja, infinitamente diferenciável, mas que F(f) não seja diferenciável em todos os pontos. (Dica: Pense nos exemplos dados em sala de aula)

Passo 1

O enunciado pede uma função fcolon RtoC que seja de classe C^infty e integrável ( L^1(R)), mas cuja transformada de Fourier não seja diferenciável em todos os pontos. Vamos usar o fato clássico de que
integral-infty^inftye^-iomega x1+x^2,dx
é conhecido e apresenta um canto em omega=0.

Passo 2

Definimos
f(x)=11+x^2,
Essa função é:
– Infinitamente diferenciável em R, pois é composição e soma de funções polinomiais e recíprocas sem zeros no denominador.
– Integrável, já que para lvert xrverttoinfty temos 1/(1+x^2)sim 1/x^2 e
integral1^inftydxx^2<infty,
logo fin L^1(R).

Passo 3

Vamos calcular a transformada de Fourier (usando a convenção F(f)(omega)=integralRf(x)e^-iomega x,dx). É um resultado clássico de análise complexa ou tabelas de transformadas que
F(f)(omega) =integral-infty^inftye^-iomega x1+x^2,dx =pi,e^-|omega|

Passo 4

A função pi,e^-|omega| não é diferenciável em omega=0, porque o valor da derivada à direita é
ddomegal(pi e^-|omega|r)|omega=0^+ =-pi
enquanto à esquerda é
ddomegal(pi e^-|omega|r)|omega=0^- =+pi
Como esses dois limites não coincidem, F(f) falha em ser diferenciável em omega=0.

Resposta

Um exemplo é
f(x)=11+x^2, F(f)(omega)=pi,e^-|omega|,
onde fin C^inftycap L^1(R) mas F(f) não é diferenciável em omega=0.

Exercícios relacionados