Exercício 13. (D. 3.5, ex.3.16) Ache um exemplo de função que seja de classe , ou seja, infinitamente diferenciável, mas que não seja diferenciável em todos os pontos. (Dica: Pense nos exemplos dados em sala de aula)
Passo 1
O enunciado pede uma função que seja de classe e integrável (), mas cuja transformada de Fourier não seja diferenciável em todos os pontos. Vamos usar o fato clássico de que
é conhecido e apresenta um canto em .
Passo 2
Definimos
Essa função é:
– Infinitamente diferenciável em , pois é composição e soma de funções polinomiais e recíprocas sem zeros no denominador.
– Integrável, já que para temos e
logo .
Passo 3
Vamos calcular a transformada de Fourier (usando a convenção ). É um resultado clássico de análise complexa ou tabelas de transformadas que
Passo 4
A função não é diferenciável em , porque o valor da derivada à direita é
enquanto à esquerda é
ddomegal(pi e^-|omega|r)|omega=0^- =+pi
Como esses dois limites não coincidem, F(f) falha em ser diferenciável em omega=0.
Resposta
Um exemplo é
f(x)=11+x^2, F(f)(omega)=pi,e^-|omega|,
onde fin C^inftycap L^1(R) mas F(f) não é diferenciável em omega=0.