Calcule:
& (b) lim x (pi / 2)^-(tg x)^cos x
\lim _{x \rightarrow(\pi / 2)^{-}}(\operatorname{tg} x)^{\cos x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto(pi/2)^-(tan x)^cos x
Esse tipo de limite, onde a base tende a infinito e o expoente tende a zero, é uma indeterminação do tipo +infty^0. A técnica padrão é reescrever a expressão como uma exponencial usando logaritmo natural.

Passo 2

Definimos
L = limxto(pi/2)^-(tan x)^cos x
Supondo que o limite do expoente de uma exponencial exista, temos
L = expl(limxto(pi/2)^- cos x ,ln(tan x)r)
Portanto, nosso objetivo passa a ser calcular
limxto(pi/2)^- cos x ,ln(tan x)

Passo 3

Para analisar cos x,ln(tan x) quando xto(pi/2)^-, fazemos a troca de variável
y = pi2-x,
que vai para 0^+ quando xto(pi/2)^-. Nesse caso
tan x = tanl(tfracpi2 - yr) = cot y = 1tan y,
e também
cos x = cosl(tfracpi2 - yr) = sin y
Como yto0^+, temos as equivalências tan ysim y e sin ysim y.

Passo 4

Usando essas aproximações, o expoente fica
cos x,ln(tan x) =sin y,ln!l(tfrac1tan yr) =sin yl(-ln(tan y)r) sim yl(-ln(y)r) =-yln y
Mas sabemos que limyto0^+yln y=0. Logo
limxto(pi/2)^-cos x,ln(tan x)=0
Assim
L=exp(0)=1

Resposta

1

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