Calcule:
\lim _{x \rightarrow(\pi / 2)^{-}}(\operatorname{tg} x)^{\cos x}
Passo 1
O enunciado pede o limite
Esse tipo de limite, onde a base tende a infinito e o expoente tende a zero, é uma indeterminação do tipo
. A técnica padrão é reescrever a expressão como uma exponencial usando logaritmo natural.
Passo 2
Definimos
Supondo que o limite do expoente de uma exponencial exista, temos
Portanto, nosso objetivo passa a ser calcular
Passo 3
Para analisar
quando
, fazemos a troca de variável
que vai para
quando
. Nesse caso
e também
Como
, temos as equivalências
e
.
Passo 4
Usando essas aproximações, o expoente fica
Mas sabemos que
. Logo
Assim