Questão 5 (2,0 pontos)
Resolva pelo método dos coeficientes a determinar (encontre a solução geral) a EDOLÑH
Resolva pelo método dos coeficientes a determinar (encontre a solução geral) a EDOLÑH
Passo 1
O enunciado pede para resolver, pelo método dos coeficientes a determinar, a equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
O que precisamos:
– Encontrar a solução geral da homogênea associada;
– Propor um “chute” (ansatz) para cada parte do termo independente e determinar seus coeficientes;
– Somar as partes para obter a solução geral.
– Encontrar a solução geral da homogênea associada;
– Propor um “chute” (ansatz) para cada parte do termo independente e determinar seus coeficientes;
– Somar as partes para obter a solução geral.
Passo 2
Primeiro, a parte homogênea é
Formamos a equação característica
de onde
e
. Logo a solução homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
tal que
onde
. Como o lado direito é soma de um polinômio de grau 1 e de uma exponencial, vamos separar:
- Para a parte polinomial
, assumimos
Calculamos
então
Isso deve ser igual a
, logo igualamos coeficientes:
Portanto
Passo 4
- Para a parte
, se tentássemos teríamos ressonância, pois já está em . Multiplicamos então por e usamos
Calculamos
e
Queremos
, logo
Assim
Passo 5
A solução particular completa é
Somando com a homogênea, a solução geral fica