Questão 5 (2,0 pontos)
Resolva pelo método dos coeficientes a determinar (encontre a solução geral) a EDOLÑH
y^prime prime-3 y^prime-4 y=1+2 x+5 e^-x

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método dos coeficientes a determinar, a equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 3y' - 4y = 1 + 2x + 5e^-x
O que precisamos:
– Encontrar a solução geral da homogênea associada;
– Propor um “chute” (ansatz) para cada parte do termo independente e determinar seus coeficientes;
– Somar as partes para obter a solução geral.

Passo 2

Primeiro, a parte homogênea é
y'' - 3y' - 4y = 0
Formamos a equação característica
r^2 - 3r - 4 = 0Longrightarrow (r-4)(r+1)=0,
de onde r=4 e r=-1. Logo a solução homogênea é
yh(x)=C1e^4x+C2e^-x

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp tal que
L[yp]=1+2x+5e^-x,
onde L[y]=y''-3y'-4y. Como o lado direito é soma de um polinômio de grau 1 e de uma exponencial, vamos separar:
  1. Para a parte polinomial 1+2x, assumimos
yp1(x)=Ax+B
Calculamos
yp1'=A, yp1''=0,
então
L[yp1]=0-3A-4(Ax+B)=-4A,x+(-3A-4B)
Isso deve ser igual a 1+2x, logo igualamos coeficientes:
-4A=2Longrightarrow A=-tfrac12,
-3A-4B=1Longrightarrow -3(-tfrac12)-4B=1;Longrightarrow; tfrac32-4B=1;Longrightarrow;B=tfrac18
Portanto
yp1(x)=-tfrac12x+tfrac18

Passo 4

  1. Para a parte 5e^-x, se tentássemos Ce^-x teríamos ressonância, pois e^-x já está em yh. Multiplicamos então por x e usamos
yp2(x)=C,x,e^-x
Calculamos
yp2'=C(1-x)e^-x, yp2''=C(x-2)e^-x,
e
L[yp2] =C,e^-xl[(x-2)-3(1-x)-4xr] =C,e^-x(-5)
Queremos L[yp2]=5e^-x, logo
-5C=5Longrightarrow C=-1
Assim
yp2(x)=-,x,e^-x

Passo 5

A solução particular completa é
yp(x)=yp1(x)+yp2(x)=-tfrac12x+tfrac18 -x,e^-x
Somando com a homogênea, a solução geral fica
y(x)=yh(x)+yp(x) =C1e^4x+C2e^-x-tfrac12x+tfrac18 -x,e^-x

Resposta

boxedy(x)=C1e^4x+C2e^-x-12,x+18 -x,e^-x

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