Exercício 13. (D.K. ex. 9.7) Mostre que se u in D^prime(R^n) é tal que xn u=0, então existe uma única distribuição v in D^prime(R^n-1) tal que
u(phi)=v(i^*(phi)), forall phi in Cc^infty(R^n),
em que i^*(phi)(x1, ldots, xn)=phi(x1, ldots, xn-1, 0).
Dica: Use chi in Cc^infty(R) com chi=1 numa vizinhança de 0 . Para phi in Cc^infty(R^n-1), definamos a função phi otimes chi(x^prime, xn)= phi(x^prime) chi(xn) e deduza que v deve ser definida como v(phi)=u(phi otimes chi).

Passo 1

O enunciado trabalha com distribuições em R^n e afirma que uma dada uinD'(R^n) satisfaz
xn,u=0
no sentido de distribuições. Queremos mostrar que então existe única distribuição
vinD'(R^n-1)
tal que, para toda phiin Cc^infty(R^n),
u(phi)=vl(i^*(phi)r),
onde
i^*(phi)(x1,dots,xn-1)=phi(x1,dots,xn-1,0)
Vamos usar o truque do corte em xn sugerido pela dica.

Passo 2

Escolha chiin Cc^infty(R) tal que chi(xn)=1 numa vizinhança de 0. Para cada varphiin Cc^infty(R^n-1), defina
(varphiotimeschi)(x',xn)=varphi(x'),chi(xn),
que pertence a Cc^infty(R^n) e “alongará” varphi na direção xn.

Passo 3

Definimos v em Cc^infty(R^n-1) por
v(varphi)=ul(varphiotimeschir)
Para ver que isso não depende da escolha de chi, tome duas funções chi1,chi2 iguais a 1 perto de 0. Então theta=chi1-chi2 tem suporte afastado de 0 e, portanto, pode escrever-se theta(xn)=xn,psi(xn) com psiin Cc^infty(R). Logo
(varphiotimeschi1)-(varphiotimeschi2) =varphi(x'),theta(xn) =xnl(varphi(x'),psi(xn)r)
e como xn,u=0 obtemos
ul((varphiotimeschi1)-(varphiotimeschi2)r)=0
Assim v(varphi) está bem-definido.

Passo 4

v é claramente linear. Para a continuidade, note que o mapa
Cc^infty(R^n-1);longrightarrow;Cc^infty(R^n), varphi;mapsto;varphiotimeschi
é contínuo (as seminormas de varphiotimeschi controlam-se pelas de varphi), e u é contínuo em Cc^infty(R^n). Logo v é contínuo em Cc^infty(R^n-1), isto é, vinD'(R^n-1).

Passo 5

Dado phiin Cc^infty(R^n), decomponha
phi(x',xn) =phi(x',xn),chi(xn) +phi(x',xn)l(1-chi(xn)r)
Como 1-chi é nula perto de 0, existe etain Cc^infty(R^n) com
phi(x',xn)l(1-chi(xn)r)=xn,eta(x',xn),
e assim
ul(phi(1-chi)r)=0
Quanto ao termo phi,chi, escreva
phi(x',xn),chi(xn) =phi(x',0),chi(xn) +l(phi(x',xn)-phi(x',0)r)chi(xn)
Novamente phi(x',xn)-phi(x',0)=xn,tildeeta para alguma tildeeta, de modo que ul((phi-phi(cdot,0))chir)=0. Resta
u(phi)=ul(phi,chir) =ul(phi(cdot,0)otimeschir) =vl(phi(cdot,0)r) =vl(i^*(phi)r)

Passo 6

Se v1,v2 satisfizessem u(phi)=vj(i^*(phi)), então para toda varphiin Cc^infty(R^n-1) teríamos
v1(varphi)=u(varphiotimeschi)=v2(varphi)
Logo v é única.

Resposta

A distribuição vinD'(R^n-1) existe e é única, e está dada por
v(varphi)=ul(varphiotimeschir),
onde chiin Cc^infty(R) satisfaz chi=1 perto de 0. Com essa definição, verifica-se que
u(phi)=vl(i^*(phi)r)
para todo phiin Cc^infty(R^n).

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