Exercício 13. (D.K. ex. 9.7) Mostre que se
é tal que
, então existe uma única distribuição
tal que
em que
.
Dica: Use
com
numa vizinhança de 0 . Para
, definamos a função
e deduza que
deve ser definida como
.
Dica: Use
Passo 1
O enunciado trabalha com distribuições em
e afirma que uma dada
satisfaz
no sentido de distribuições. Queremos mostrar que então existe única distribuição
tal que, para toda
,
onde
Vamos usar o truque do corte em
sugerido pela dica.
Passo 2
Escolha
tal que
numa vizinhança de
. Para cada
, defina
que pertence a
e “alongará”
na direção
.
Passo 3
Definimos
em
por
Para ver que isso não depende da escolha de
, tome duas funções
iguais a 1 perto de
. Então
tem suporte afastado de 0 e, portanto, pode escrever-se
com
. Logo
e como
obtemos
Assim
está bem-definido.
Passo 4
é contínuo (as seminormas de
controlam-se pelas de
), e
é contínuo em
. Logo
é contínuo em
, isto é,
.
Passo 5
Dado
, decomponha
Como
é nula perto de
, existe
com
e assim
Quanto ao termo
, escreva
Novamente
para alguma
, de modo que
. Resta
Passo 6
Se
satisfizessem
, então para toda
teríamos
Logo
é única.
Resposta
A distribuição
existe e é única, e está dada por
onde
satisfaz
perto de
. Com essa definição, verifica-se que
para todo
.