Exercício 14. (D.K. ex. 9.10) Determine as soluções u in D^prime(R) da equação e^i xi x u=u. Considere os casos xi=0, xi in R backslash0 e xi in C backslash R.

Passo 1

O enunciado quer todas as distribuições uinD'(R) tais que
e^ixi x,u ;=;u
O conteúdo é a ação de multiplicação por função suave sobre distribuições. Para resolver, vamos reescrever a equação como
l(e^ixi x-1r),u ;=;0
e usar o lema: se phi é suave e phi,u=0 em D', então supp,usubsetx:phi(x)=0.

Passo 2

Aplicando o lema com phi(x)=e^ixi x-1, concluímos que qualquer solução u deve satisfazer
supp,u;subset;,xinRmid e^ixi x-1=0
e, recíprocamente, qualquer distribuição suportada nesse conjunto faz phi,u=0.

Passo 3

Vamos descrever o conjunto zero de phi:
xmid e^ixi x=1 ;Long<=ftrightarrow; xmid i,xi,x=2pi i n,;ninZ ;Long<=ftrightarrow; ,x=tfrac2pi nximid ninZ
Agora separam-se os três casos pedidos.

Passo 4

Caso xi=0: então e^ixi x=1 identicamente, a equação vira u=u e não impõe restrição.
Resposta: toda distribuição uinD'(R) satisfaz.

Passo 5

Caso xiinRsetminus0: o zero de phi é
lx=tfrac2pi nxi;|;ninZr,
uma rede discreta em R. Logo
supp,usubsetltfrac2pi nxirninZ
e toda distribuição com suporte nessa rede resolve a equação. Em detalhe,
u =sumninZsumk=0^mn an,k,de<a^(k)!l(x-tfrac2pi nxir),
com an,kinC e ordens finitas mn.

Passo 6

Caso xiinCsetminusR: a solução de e^ixi x=1 com xinR só ocorre para n=0, dando x=0. Assim
supp,usubset0,
e
u=sumk=0^Nak,de<a^(k)(x),
com akinC.

Resposta

Para xi=0: quaisquer uinD'(R).
Para xiinRsetminus0:
u=sumninZsumk=0^mnan,k,de<a^(k)!l(x-tfrac2pi nxir)
Para xiinCsetminusR:
u=sumk=0^Nak,de<a^(k)(x)

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