Exercício 14. (D.K. ex. 9.10) Determine as soluções
da equação
. Considere os casos
,
e
.
Passo 1
O enunciado quer todas as distribuições
tais que
O conteúdo é a ação de multiplicação por função suave sobre distribuições. Para resolver, vamos reescrever a equação como
e usar o lema: se
é suave e
em
, então
.
Passo 2
Aplicando o lema com
, concluímos que qualquer solução
deve satisfazer
e, recíprocamente, qualquer distribuição suportada nesse conjunto faz
.
Passo 3
Vamos descrever o conjunto zero de
:
Agora separam-se os três casos pedidos.
Passo 4
Caso
: então
identicamente, a equação vira
e não impõe restrição.
Resposta: toda distribuição satisfaz.
Resposta: toda distribuição
Passo 5
Caso
: o zero de
é
uma rede discreta em
R . Logo
e toda distribuição com suporte nessa rede resolve a equação. Em detalhe,
com
an,kinC e ordens finitas
mn .
Passo 6
Caso
xiinCsetminusR : a solução de
e^ixi x=1 com
xinR só ocorre para
n=0 , dando
x=0 . Assim
e
com
akinC .
Resposta
Para
xi=0 : quaisquer
uinD'(R) .
ParaxiinRsetminus0 :
Para
Para
xiinCsetminusR :