Use coordenadas polares para calcular as integrais abaixo.
integral-1^1 integral0^raiz1-x^2(x^2+y^2)^3 / 2 d y d x

Passo 1

O enunciado pede a integral
integral-1^1integral0^raiz1-x^2(x^2+y^2)^3/2,dy,dx
usando coordenadas polares. A região de integração é a semicírculo superior de raio 1.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta,
onde, como y>=0 e x^2+y^2<=1, temos
0 <= r <= 1, 0 <= theta <= pi

Passo 3

O integrando transforma-se assim:
(x^2+y^2)^3/2=(r^2)^3/2=r^3,
e o elemento de área dx,dy vira r,dr,dtheta. Portanto a integral passa a ser
integraltheta=0^piintegralr=0^1r^3cdot r,dr,dtheta =integral0^piintegral0^1r^4,dr,dtheta

Passo 4

Calculamos a integral em r:
integral0^1r^4,dr =r^55|0^1 =15

Passo 5

Agora integramos em theta:
integral0^pi15,dtheta =15,theta|0^pi =pi5

Resposta

pi5

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