Mostrar que o conjunto dos pontos (x,y,z) que satisfazem essas duas equações forma uma reta.
Fornecer explicitamente uma equação vetorial dessa reta.
Informações relevantes fornecidas: as duas equações lineares em (x,y,z) acima. Nada mais é dado.]
Passo 2
Primeiro passo algébrico simples: isolar x na primeira equação.
A primeira equação é
x-y+2=0.
Isolando x temos
x = y-2.
Explicação curta: passou-se o termo -y para o outro lado somando y e transferiu-se o 2 somando -2 ao outro lado; é apenas manipulação elementar de equações.
Passo 3
Substituir x na segunda equação para relacionar y e z. A segunda equação é
x+y+z=0.
Substituindo x = y-2 obtemos
(y-2)+y+z=0.
Agora somamos os termos em y:
2y - 2 + z = 0.
Isolando z dá
z = 2 - 2y.
Comentário: até aqui expressamos x e z em função de y. Isso mostra que y pode variar livremente — é uma variável livre — e os outros são determinados por ela.
Passo 4
Introduzir um parâmetro para a variável livre. Seja t\in\mathbb{R}\) o parâmetro e escolha
\[t := y.
Então, usando as expressões encontradas,
\begin{cases} y = t,\\[4pt] x = y-2 = t-2,\\[4pt] z = 2 - 2y = 2 - 2t. \end{cases}
Explicação do porquê: em sistemas lineares com menos equações do que incógnitas costuma aparecer variável(s) livre(is); parametrizar por (t] é a forma mais direta de descrever todas as soluções.]
Passo 5
Passar da forma paramétrica escalares para a forma vetorial. Escrevendo o vetor posição \mathbf{r}=(x,y,z) em função de t,
\mathbf{r}(t) = (t-2,\; t,\; 2-2t).
Separe os termos constantes e os que multiplicam t:
\mathbf{r}(t) = (-2,0,2) + t(1,1,-2).
Interpretação didática: aqui (-2,0,2) é um ponto particular que satisfaz as duas equações (um ponto da reta) e (1,1,-2) é o vetor de direção da reta. A expressão \mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0 + t\mathbf{v} é a forma vetorial padrão de uma reta em \mathbb{R}^3.
Passo 6
Verificação rápida (para ganhar confiança): demonstrar que para qualquer t a tripla (x,y,z)=(t-2,t,2-2t) satisfaz as equações originais.
Substituindo na primeira equação:
x-y+2 = (t-2)-t+2 = 0.
Substituindo na segunda:
x+y+z = (t-2)+t+(2-2t) = (t+t-2t)+(-2+2)=0.
As duas identidades são válidas para todo t, logo todos os pontos dados pela parametrização pertencem ao conjunto solução. Além disso, a liberdade de um parâmetro indica que o conjunto de soluções é unidimensional — isto é, uma reta.
Passo 7
Comentário adicional (útil na prova): outra maneira de ver o vetor de direção é resolver o sistema homogêneo associado (substituir os termos constantes por zero):
Isto leva a x=y e z=-2y, daí o vetor direção (1,1,-2). A solução geral do sistema não-homogêneo é sempre uma solução particular mais um múltiplo do vetor direção do homogêneo.]