Exercício 13. Determine m de forma que a região acima da reta y=m x e abaixo da parábola y=2 x-x^{2} tenha área 36 .
Passo 1
O enunciado dá duas curvas e pede o(s) valor(es) de m tal que a área da região que está acima da reta y= m x e abaixo da parábola y=2x-x^{2} seja igual a 36.
Informações fornecidas:
Reta: y = m x.
Parábola: y = 2x - x^{2}.
Área da região entre as curvas (acima da reta e abaixo da parábola): 36.
O que se pede: determinar todos os valores reais de m que satisfazem essa condição.
Passo 2
Primeiro precisamos achar os pontos de interseção entre as duas curvas — esses serão os limites de integração quando calcularmos a área entre elas. Igualamos as equações:
m x = 2x - x^{2}.
Colocando tudo num lado:
0 = 2x - x^{2} - m x = -x^{2} + (2-m)x.
Multiplicando por -1 (para simplificar):
0 = x^{2} - (2-m)x = x\bigl(x - (2-m)\bigr).
Portanto as abscissas de interseção são
x=0\quad\text{e}\quad x = 2-m.
Passo 3
Agora vamos entender qual é a função “topo” (maior) e a “base” (menor) entre esses pontos para montar o integral da área. A diferença entre parabola e reta é
Para x entre 0 e 2-m (se 2-m>0) esse produto é não-negativo, ou seja a parábola está acima da reta nesse intervalo. Se 2-m<0, a ordem dos pontos de interseção inverte-se (o outro ponto fica à esquerda de 0) e a parábola também fica acima da reta no intervalo entre 2-m e 0. Em qualquer caso a região procurada é o intervalo entre as duas abscissas de interseção, e a área é o valor positivo da integral da diferença (topo menos base).
Portanto a área A é dada por (usando o intervalo correto; aqui escrevo a expressão simbólica válida em geral):
A = \left|\int_{0}^{2-m} \bigl((2x - x^{2}) - (m x)\bigr)\,dx\right|.
Passo 4
Calculamos a integral. Primeiro simplificamos o integrando:
Como a área é sempre não-negativa, tomamos o valor absoluto se necessário. Portanto, a expressão geral para a área é
A = \frac{\bigl|2-m\bigr|^{3}}{6}.
Passo 5
Impondo A=36 obtemos
\frac{\bigl|2-m\bigr|^{3}}{6}=36.
Multiplicando ambos os lados por 6:
\bigl|2-m\bigr|^{3}=216.
Extraindo a raiz cúbica (216=6^{3}):
\bigl|2-m\bigr|=6.
Isso dá duas equações lineares:
2-m=6\quad\Rightarrow\quad m=2-6=-4,
ou
2-m=-6\quad\Rightarrow\quad m=2+6=8.
Passo 6
Devemos verificar rapidamente que para cada solução a parábola realmente fica acima da reta no intervalo entre as interseções (assim a área calculada corresponde à região pedida).
Para m=-4: temos 2-m=6>0. As interseções são em x=0 e x=6; para 0<x<6 a expressão x((2-m)-x) é não-negativa, então a parábola está acima da reta. A área calculada vale 36.
Para m=8: temos 2-m=-6<0. As interseções são em x=-6 e x=0; para -6<x<0 a expressão x((2-m)-x) é não-negativa (ambos fatores são negativos, produto positivo), então a parábola está acima da reta nesse intervalo e a área vale 36.