Exemplo 37. Girando-se, em torno do eixo-y, a região limitada por y=2 x-x^{2} e o eixo- x obtemos um sólido. Determine o volume desse sólido.
Solução. Pontos de encontro da curva com o eixo- x :
2 x-x^{2}=0 \quad \therefore \quad x=0 \text { ou } x=2 .
Assim, o volume pedido é
V=2 \pi \int_{0}^{2} x\left(2 x-x^{2}\right) d x=2 \pi \int_{0}^{2}\left(2 x^{2}-x^{3}\right) d x=\frac{4}{3}

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo-y, a região limitada por y=2x-x^{2} e o eixo- x. Informações dadas e perguntas claras:
  • Função que limita a região: y=2x-x^{2}.
  • A região está limitada inferiormente pelo eixo- x (ou seja, por y=0).
  • O sólido é obtido por rotação dessa região em torno do eixo- y.
  • Pergunta: determinar o volume do sólido resultante.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • Pontos de interseção da curva com o eixo- x são soluções de 2x-x^{2}=0, isto é, x=0 e x=2. Esses valores serão os limites de integração.

Passo 2

Escolha do método de integração (explicação didática): cascas cilíndricas.
  • Quando uma região descrita por y=f(x) (em função de x) é rodada em torno do eixo- y, o método mais direto e básico é o das cascas cilíndricas (cylindrical shells). Por quê? Porque cada pedaço vertical da região, em x fixo, ao girar gera uma casca (um cilindro fino) cuja expressão de volume é simples e usa integração em x.
  • Fórmula das cascas (dedução intuitiva): tomar um retângulo fino de largura dx localizado em x. Ao girar em torno do eixo- y esse retângulo gera uma casca circular de:
    • raio da casca: \text{raio} = x (distância do retângulo ao eixo- y);
    • altura da casca: \text{altura} = y = 2x - x^{2};
    • espessura: dx.
      O comprimento da circunferência da casca é 2\pi x, então o volume aproximado da casca é
    dV \approx (\text{circunferência})\times(\text{altura})\times(\text{espessura}) = 2\pi x\bigl(2x-x^{2}\bigr)\,dx.ê
  • Integrando todas as cascas de x=0 até x=2 obtemos o volume total: V = 2\pi \int_{0}^{2} x\bigl(2x-x^{2}\bigr)\,dx.
  • Observação rápida sobre alternativa: o método dos discos/anel (washers) exigiria resolver x em função de y e integrar em y, o que dá trabalho extra aqui — por isso escolhemos cascas, que é mais direto.

Passo 3

Montagem e simplificação do integrando.
  • Escrever a integral já com o integrando simplificado: V = 2\pi \int_{0}^{2} x\bigl(2x-x^{2}\bigr)\,dx = 2\pi \int_{0}^{2} \bigl(2x^{2}-x^{3}\bigr)\,dx.
  • Aqui cada termo está em função de x, os limites são 0 e 2 (obtidos no Passo 1) e tudo está pronto para integrar.

Passo 4

Cálculo da integral passo a passo (sem pular etapas).
  • Calcular as primitivas termo a termo: \int 2x^{2}\,dx = 2\cdot\frac{x^{3}}{3}=\frac{2}{3}x^{3}, \qquad \int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4}.
  • Portanto a primitiva do integrando é F(x)=\frac{2}{3}x^{3}-\frac{1}{4}x^{4}.
  • Aplicar o teorema fundamental do cálculo entre 0 e 2: \int_{0}^{2}\bigl(2x^{2}-x^{3}\bigr)\,dx =\left[\frac{2}{3}x^{3}-\frac{1}{4}x^{4}\right]_{0}^{2}.
  • Avaliar em x=2: \frac{2}{3}\cdot 2^{3}-\frac{1}{4}\cdot 2^{4} =\frac{2}{3}\cdot 8 - \frac{1}{4}\cdot 16 =\frac{16}{3}-4.Colocar 4 sob o mesmo denominador: 4=\frac{12}{3}\quad\Rightarrow\quad \frac{16}{3}-4=\frac{16}{3}-\frac{12}{3}=\frac{4}{3}.
  • Agora multiplicar pelo fator 2\pi que estava fora da integral: V = 2\pi \cdot \frac{4}{3} = \frac{8\pi}{3}.

Passo 5

Interpretação final e dica de prova.
  • Resultado: o volume do sólido obtido pela rotação é \dfrac{8\pi}{3}.
  • Dica rápida para a prova: quando girar regiões em torno do eixo paralelo ao eixo sobre o qual a função está expressa (aqui função y=f(x) e rotação em torno do eixo- y), pense primeiro em cascas. Se a rotação fosse em torno do eixo- x e a função já fosse y=f(x), muitas vezes os discos/anel (washers) são mais diretos. Escolher o método certo economiza tempo.

Resposta

\displaystyle V=\frac{8\pi}{3}

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