Exemplo 37. Girando-se, em torno do eixo-y, a região limitada por
e o eixo-
obtemos um sólido. Determine o volume desse sólido.
Solução. Pontos de encontro da curva com o eixo-
:
Assim, o volume pedido é
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo-y, a região limitada por
e o eixo-
. Informações dadas e perguntas claras:
- Função que limita a região:
. - A região está limitada inferiormente pelo eixo-
(ou seja, por ). - O sólido é obtido por rotação dessa região em torno do eixo-
. - Pergunta: determinar o volume do sólido resultante.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
- Pontos de interseção da curva com o eixo-
são soluções de , isto é, e . Esses valores serão os limites de integração.
Passo 2
Escolha do método de integração (explicação didática): cascas cilíndricas.
- Quando uma região descrita por
(em função de ) é rodada em torno do eixo- , o método mais direto e básico é o das cascas cilíndricas (cylindrical shells). Por quê? Porque cada pedaço vertical da região, em fixo, ao girar gera uma casca (um cilindro fino) cuja expressão de volume é simples e usa integração em . - Fórmula das cascas (dedução intuitiva): tomar um retângulo fino de largura
localizado em . Ao girar em torno do eixo- esse retângulo gera uma casca circular de: - raio da casca:
(distância do retângulo ao eixo- ); - altura da casca:
; - espessura:
.
O comprimento da circunferência da casca é, então o volume aproximado da casca é
- raio da casca:
- Integrando todas as cascas de
até obtemos o volume total: - Observação rápida sobre alternativa: o método dos discos/anel (washers) exigiria resolver
em função de e integrar em , o que dá trabalho extra aqui — por isso escolhemos cascas, que é mais direto.
Passo 3
Montagem e simplificação do integrando.
- Escrever a integral já com o integrando simplificado:
- Aqui cada termo está em função de
, os limites são e (obtidos no Passo 1) e tudo está pronto para integrar.
Passo 4
Cálculo da integral passo a passo (sem pular etapas).
- Calcular as primitivas termo a termo:
- Portanto a primitiva do integrando é
- Aplicar o teorema fundamental do cálculo entre
e : - Avaliar em
: Colocar sob o mesmo denominador: - Agora multiplicar pelo fator
que estava fora da integral:
Passo 5
Interpretação final e dica de prova.
- Resultado: o volume do sólido obtido pela rotação é
. - Dica rápida para a prova: quando girar regiões em torno do eixo paralelo ao eixo sobre o qual a função está expressa (aqui função
e rotação em torno do eixo- ), pense primeiro em cascas. Se a rotação fosse em torno do eixo- e a função já fosse , muitas vezes os discos/anel (washers) são mais diretos. Escolher o método certo economiza tempo.