Vamos ligar essa energia ao domínio da frequência usando o Teorema de Parseval (ou Plancherel). Usando a convenção de transformada de Fourier com frequência angular \omega, a relação de Parseval é
onde X(j\omega) e Y(j\omega) são as transformadas de x e y. Tomando y=x e lembrando que x é real (logo \overline{x(t)}=x(t) e \overline{X(j\omega)}=X(-j\omega) mas aqui usamos \lvert X(j\omega)\rvert^{2}), obtemos a forma usual:
Explicando de leve: a transformada de Fourier “redistribui” a energia do sinal no eixo da frequência; o teorema de Parseval diz exatamente como a energia no tempo se relaciona com a energia no espectro, e o fator 1/(2\pi) vem da convenção escolhida para a transformada/inversa (convenção com e^{-j\omega t} na transformada e 1/(2\pi)\int e^{j\omega t}\,d\omega na inversa).
Passo 5
Usando a igualdade de Parseval e a informação do enunciado \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\lvert X(j\omega)\rvert^{2}\,d\omega=1, obtemos