Exercício 9: Determine y(0) para
y(t)=x(t) * x(-t) \quad, \quad x(t) real \quad, \quad \int_{-\infty}^{+\infty}|X(j \omega)|^{2} d \omega=1

Passo 1

O enunciado pede para determinar y(0) sabendo que
y(t)=x(t)*x(-t),
que x(t) é real e que
\int_{-\infty}^{+\infty}\lvert X(j\omega)\rvert^{2}\,d\omega = 1,
onde X(j\omega) é a transformada de Fourier de x(t).
Informações relevantes listadas:
  • A função convoluída é x(t) com x(-t).
  • Queremos o valor de y(t) em t=0, ou seja y(0).
  • Está dada a integral da densidade espectral \lvert X(j\omega)\rvert^{2}.
  • x(t) é real (importante para relacionar \lvert x(t)\rvert^{2} com x(t)^{2}).

Passo 2

Vamos escrever a definição de convolução e avaliar em t=0.
Definição: a convolução de duas funções f e g é
(f*g)(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.
No nosso caso f(t)=x(t) e g(t)=x(-t). Portanto
y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\,x(-(t-\tau))\,d\tau.
Reescrevendo -(t-\tau)=\tau-t, obtemos
y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\,x(\tau-t)\,d\tau.

Passo 3

Agora avalio em t=0. Substituindo t=0 na expressão anterior:
y(0)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\,x(\tau-0)\,d\tau =\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\,x(\tau)\,d\tau =\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)^{2}\,d\tau.
Como x(t) é real, x(t)^{2}=\lvert x(t)\rvert^{2}. Assim y(0) é a energia do sinal x(t):
y(0)=\int_{-\infty}^{+\infty} \lvert x(t)\rvert^{2}\,dt.

Passo 4

Vamos ligar essa energia ao domínio da frequência usando o Teorema de Parseval (ou Plancherel). Usando a convenção de transformada de Fourier com frequência angular \omega, a relação de Parseval é
\int_{-\infty}^{+\infty} x(t)\,\overline{y(t)}\,dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} X(j\omega)\,\overline{Y(j\omega)}\,d\omega,
onde X(j\omega) e Y(j\omega) são as transformadas de x e y. Tomando y=x e lembrando que x é real (logo \overline{x(t)}=x(t) e \overline{X(j\omega)}=X(-j\omega) mas aqui usamos \lvert X(j\omega)\rvert^{2}), obtemos a forma usual:
\int_{-\infty}^{+\infty} \lvert x(t)\rvert^{2}\,dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \lvert X(j\omega)\rvert^{2}\,d\omega.
Explicando de leve: a transformada de Fourier “redistribui” a energia do sinal no eixo da frequência; o teorema de Parseval diz exatamente como a energia no tempo se relaciona com a energia no espectro, e o fator 1/(2\pi) vem da convenção escolhida para a transformada/inversa (convenção com e^{-j\omega t} na transformada e 1/(2\pi)\int e^{j\omega t}\,d\omega na inversa).

Passo 5

Usando a igualdade de Parseval e a informação do enunciado \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\lvert X(j\omega)\rvert^{2}\,d\omega=1, obtemos
y(0)=\int_{-\infty}^{+\infty} \lvert x(t)\rvert^{2}\,dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \lvert X(j\omega)\rvert^{2}\,d\omega=\frac{1}{2\pi}\cdot 1=\frac{1}{2\pi}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2\pi}

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