Exercício 13: Determine o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas y=x^3 e y=2 x, no intervalo x=0 até x=1, em torno do eixo x.
V=pi integral0^1((2 x)^2-(x^3)^2) d x

Passo 1

Nesse exercício vamos girar em torno do eixo x a região delimitada por y = x^3 e y = 2x, para x de 0 a 1, usando o método dos anéis (discos com furo).

Passo 2

Pela teoria de sólidos de revolução, o volume é dado por
V = pi integral0^1 l[R(x)^2 - r(x)^2r] ,dx
sendo R(x) a função superior (2x) e r(x) a inferior (x^3). Substituindo, temos
V = pi integral0^1 l[(2x)^2 - (x^3)^2r] ,dx = pi integral0^1 l[4x^2 - x^6r] ,dx .

Passo 3

Agora calculamos a antiderivada de 4x^2 - x^6: para 4x^2 é 4·(x^3/3) = 4x^3/3 e para x^6 é x^7/7. Logo,
integral l(4x^2 - x^6r) ,dx = 4x^33 - x^77 + C .

Passo 4

Por fim, avaliamos de 0 a 1 e multiplicamos por π: substituindo x = 1 e x = 0,
V = pi l(4cdot1^33 - 1^77 - 0r) = pi l(43 - 17r) = pi cdot 28 - 321 = 25pi21

Resposta

25pi21

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