Exercício 13: Determine o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas
e
, no intervalo
até
, em torno do eixo
.
Passo 1
Nesse exercício vamos girar em torno do eixo x a região delimitada por y = x^3 e y = 2x, para x de 0 a 1, usando o método dos anéis (discos com furo).
Passo 2
Pela teoria de sólidos de revolução, o volume é dado por
sendo R(x) a função superior (2x) e r(x) a inferior (x^3). Substituindo, temos
Passo 3
Agora calculamos a antiderivada de 4x^2 - x^6: para 4x^2 é 4·(x^3/3) = 4x^3/3 e para x^6 é x^7/7. Logo,
Passo 4
Por fim, avaliamos de 0 a 1 e multiplicamos por π: substituindo x = 1 e x = 0,